Exercices Exponentielle

Bond02 · le 2 décembre 2009

Bonjour,

Voilà, je m'entraine à des exercices pour le bac, et au vu de mon interrogation jeudi prochain sur les exponentielles. Voici 3 exercices, qui me posent problèmes. Les deux premiers, j'ai quelques éléments de réponses, que je posterai bientôt ici, afin que vous puissiez peut-être me corriger mes fautes, et me donner des indications. Par contre, l'exercice 3, je n'ai pas vraiment compris, et je n'ai rien trouvé, n'ayant pas vraiment fait ce genre d'exercice, et donc pas d'exemple de résolution. Si vous pouviez m'aider pour cet exercice 3, et m'expliquer. Je vous remercie d'avance.

Exercice 1:

PARTIE A

On considère la fonction définie sur l'intervalle ]0;+infini[ par f(x)=x/(e^x-1) .

1. Restitution organisée de connaissances :

La fonction exponentielle est l'unique fonction g dérivable sur R vérifiant :

g'(x)=g(x) pour tout x appartient à R

g(0)=1

Démontrer que lim(h->0) (e^h-1)/h=1 .

2. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

3. Déterminer la limite de la fonction f en +infini .

PARTIE B

Soit (Un) la suite définie pour n entier supérieur ou égal à 1 par :

Un= 1/n [1+e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^((n-1)/n)]

1. Démontrer que:

1+e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^((n-1)/n)=(1-e)/(1-e^(1/n))

puis en déduire que:

Un=(e-1)f(1/n) .

2. En déduire, en utilisant aussi la PARTIE A, que la suite (Un) converge vers e-1 .

Exercice 2:

On considère les fonctions f et g définies sur R respectivement par :

f(x)= x/(e^x+1)+2 et g(x)=e^x(1-x)+1

On admet que l’équation g(x)=0 possède une et une seule solution dans R et on appelle a cette solution. On appelle C la courbe représentant f dans un repère du plan.

Répondez par vrai ou faux et justifiez :

a. La droite d’équation y=x+2 est asymptote à C ?

b. G est décroissante sur R- et croissante sur R+ ?

c. Quel que soit x appartient à R, f’(x) est du signe opposé à g(x).

d. On a f(a)=a+1

Exercice 3:

Soit k un réel strictement positif et fk la fonction définie sur R par :

fk(x) = e(exposant)-kx²

1. Etudier la parité de la fonction fk.

2 Etudier les variations de la fonction fk et dresser son tableau de variation.

3 Déterminer la dérivée seconde fk" et résoudre l'équation fk"(x)=0

4 Démontrer que, quels que soient les réels strictement posiyifs h et k, on a :

fk < fh si, et seulement si, h<k

5 On prend k = 1/2

On désigne par alfa la solution positive de l'équation f1/2"(x)=0

Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentaive de f1/2 au point d'abscisse alfa.

Merci d'avance.

Boltzmann_Solver · le 3 décembre 2009

Bonjour,

Voilà, je m'entraine à des exercices pour le bac, et au vu de mon interrogation jeudi prochain sur les exponentielles. Voici 3 exercices, qui me posent problèmes. Les deux premiers, j'ai quelques éléments de réponses, que je posterai bientôt ici, afin que vous puissiez peut-être me corriger mes fautes, et me donner des indications. Par contre, l'exercice 3, je n'ai pas vraiment compris, et je n'ai rien trouvé, n'ayant pas vraiment fait ce genre d'exercice, et donc pas d'exemple de résolution. Si vous pouviez m'aider pour cet exercice 3, et m'expliquer. Je vous remercie d'avance.

Exercice 1:

PARTIE A

On considère la fonction définie sur l'intervalle ]0;+infini[ par f(x)=x/(e^x-1) .

1. Restitution organisée de connaissances :

La fonction exponentielle est l'unique fonction g dérivable sur R vérifiant :

g'(x)=g(x) pour tout x appartient à R

g(0)=1

Démontrer que lim(h->0) (e^h-1)/h=1 .

2. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

3. Déterminer la limite de la fonction f en +infini .

PARTIE B

Soit (Un) la suite définie pour n entier supérieur ou égal à 1 par :

Un= 1/n [1+e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^((n-1)/n)]

1. Démontrer que:

1+e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^((n-1)/n)=(1-e)/(1-e^(1/n))

puis en déduire que:

Un=(e-1)f(1/n) .

2. En déduire, en utilisant aussi la PARTIE A, que la suite (Un) converge vers e-1 .

Exercice 2:

On considère les fonctions f et g définies sur R respectivement par :

f(x)= x/(e^x+1)+2 et g(x)=e^x(1-x)+1

On admet que l'équation g(x)=0 possède une et une seule solution dans R et on appelle a cette solution. On appelle C la courbe représentant f dans un repère du plan.

Répondez par vrai ou faux et justifiez :

a. La droite d'équation y=x+2 est asymptote à C ?

b. G est décroissante sur R- et croissante sur R+ ?

c. Quel que soit x appartient à R, f'(x) est du signe opposé à g(x).

d. On a f(a)=a+1

Exercice 3:

Soit k un réel strictement positif et fk la fonction définie sur R par :

fk(x) = e(exposant)-kx²

1. Etudier la parité de la fonction fk.

2 Etudier les variations de la fonction fk et dresser son tableau de variation.

3 Déterminer la dérivée seconde fk" et résoudre l'équation fk"(x)=0

4 Démontrer que, quels que soient les réels strictement posiyifs h et k, on a :

fk < fh si, et seulement si, h<k

5 On prend k = 1/2

On désigne par alfa la solution positive de l'équation f1/2"(x)=0

Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentaive de f1/2 au point d'abscisse alfa.

Merci d'avance.

Boltzmann_Solver · le 3 décembre 2009

La Force est encore avec moi!

1) Vrai en -inf. Démo

lim_{x-->-inf} f(x)/x = lim_{x-->-inf} 1/(e^x+1)+2/x = 1

lim_{x-->-inf} x/(e^x+1)+2 -x = lim_{x-->-inf} -x*e^(x)/(e^(x)+1) + 2 = 2

Donc assymptôte y=x+2

2) g'(x) = e^(x)(1-x)+e^(x)(-1) = -x*e^(x). Le signe est donné par -x. Donc g est croissante sur R- et décroissante sur R+

Donc, faux

3) f'(x) = ((e^(x)+1)-x*e^(x))/(e^(x)+1)^2. Donc faux car la limite en -inf a le f'(x) < 0.

4) On sait que g(a) = 0 => e^a(1-a) = -1 => e^a+1 = a*e^a

f(a) = a/(e^a+1) + 2 = a/(a*e^a)+2

g(0) = 1(1-0) + 1 = 2. Donc a est différent de 0. Donc, on peut simplifier par 0.

f(a) = e^(-a) + 2 = e^(-a)+1 + 1. Or d'après g(a), a = 1 + e^(-a). Donc,

f(a) = a+1. CQFD

Donc, vrai!

Boltzmann_Solver · le 3 décembre 2009

Pour l'exo 3), ta fonction n'est pas clair! Est ce fk(x) = exp(-kx^2)? Mais dans ce cas, ton sujet à un pb car cette fonction ne s'annule jamais. Donc, si c'est une autre fonction, écris plus clairement ta fonction.

Cordialement.

BS

Bond02 · le 6 décembre 2009

Pour l'exo 3), ta fonction n'est pas clair! Est ce fk(x) = exp(-kx^2)? Mais dans ce cas, ton sujet à un pb car cette fonction ne s'annule jamais. Donc, si c'est une autre fonction, écris plus clairement ta fonction.

Cordialement.

BS

Boltzmann_Solver · le 7 décembre 2009

Pour l'exo 3), ta fonction n'est pas clair! Est ce fk(x) = exp(-kx^2)? Mais dans ce cas, ton sujet à un pb car cette fonction ne s'annule jamais. Donc, si c'est une autre fonction, écris plus clairement ta fonction.

Cordialement.

BS

Denis CAMUS · le 7 décembre 2009

Je suppose que c'est parce que tu es allergique à M$oft ?

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Boltzmann_Solver · le 7 décembre 2009

Je suppose que c'est parce que tu es allergique à M$oft ?

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Denis CAMUS · le 7 décembre 2009

Ouverture avec OOo, puis export pdf

Boltzmann_Solver · le 7 décembre 2009

Ouverture avec OOo, puis export pdf

Denis CAMUS · le 7 décembre 2009

Avec M$Office et PDFCreator les formules restent sur la ligne de base

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wiwi2013 · le 5 janvier 2015

bonjour,

concernant l'exercice 1 avec la somme d'une suite géo pour ma part je dois la calculer est-ce que son expression ne serait pas Un=e*e^(-1/n)?

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