Dm De Math

[the rock]

salut je bloque sur cet exercice :

partie 1 : l'objectif de cette partie est de minorer la fonction tangente sur I=[0;pi/2]

1) demontrer que tan(x) superieur ou egal a x pour tout x appartient a I

2) soit g la fonction definie sur I par : g(x)=tanx - x - (1/3x^3)

a) ecrire g'(x) sous forme d'un produit

b) determiner le sens de g sur I

c) demontrer que tan(x) superieur ou egal a x+(1/3x^3)

partie 2 : l'objectif est de majorer la fonction tangente sur J=[0;pi/4]

1) demontrer que pour tout x appartient a J on a tanx inferieur ou egal a 2x

2) soit h la fonction definie sur J par : h(x)=tanx - x - (4/3x^3)

a) determiner le sens de variation de h sur J

b) en deduire une majoration de la fonction tangente par une fonction polynome de degre 3 sur j

Merci d'avance

[Ericovitchi]

Pour le 1) étudies la fonction tan x - x . On voit vite que sa dérivée tan² x est positive donc que la fonction est croissante et comme elle vaut 0 pour x = 0, elle est donc positive après

Pour le 2) la dérivée tan ²x - x² s'écrit effectivement sous forme d'un produit (c'est un a²-b²). Ca va te permettre d'étudier le signe de la dérivée et donc la variation de f

Sur quoi bloques tu exactement ?

[pzorba75]

Exo 1

1 La dérivée de tan(x)=1+tan²(x). Sur 0,pi/2, tan(x) est positive, sa dérivée est supérieure à 1 (1+tan²(x)>1), la courbe représentative de tan(x) est au dessus de la droite =y=x, donc tan(x)>x

2

La fonction f=tan(x)-x-(x^3)/3 admet pour dérivée f'=1+tan²(x)-1-(3x²)/3=tan²(x)-x²=(tan(x)-x)(tan(x)+x) Ces 2 termes sont positifs, f est strictement croissante. f(0)=0 donc f(x)>0 d'ou tan(x)-x-(x^3)/3>0 soit tan(x)>x+(x^3)/3 sur (O,pi/2)

La suite est basée sur le même principe.

Bon courage pour la rédaction.