Complexe

[edde]

salut à tous , je bloque sur un exo merci de votre aide

A est le point d'affixe 3i

on appelle f la fonction qui, à tout point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par :

z'= (3iz-7)/(z-3i)

1)a) développez (z-7i)(z+i)

je trouve z²-6iz+7

b) prouvez que f admet deux points invariants B et C dont vous préciserez les coordonnées.

2) on appelle sigma le cercle de diamètre [bC].

M désigne un point de sigma (M différent de B , M différent de C) et M' son image par f.

a) justifiez que l'affixe z de M est telle que :

z=3i+ E i téta où téta est un nombre réel

b) exprimez l'affixe z' de M' en fonction de téta et déduisez en que M' appartient aussi à sigma

c) démontrez que z'= -z barre puis déduisez en , en la justifiant, une construction géométrique de M'

3) on considère un cercle de centre A et de rayon r (r réel positif)

précisez l'image de ce cercle par f

merci de votre aide

[Barbidoux]

[A est le point d'affixe 3i

on appelle f la fonction qui, à tout point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par :

z'= (3iz-7)/(z-3i)

1)a) développez (z-7i)(z+i)

je trouve z^2-6iz+7 c'est correct

b) prouvez que f admet deux points invariants B et C dont vous préciserez les coordonnées.

z=(3iz-7)/(z-3i) ==> z^2-6iz+7 =0 ==> (z-7i)(z+i)=0 deux solution z=-i et z=7*i

2) on appelle sigma le cercle de diamètre [bC].

M désigne un point de sigma (M différent de B , M différent de C) et M' son image par f.

a) justifiez que l'affixe z de M est telle que :

z=3i+ E i téta où téta est un nombre réel

M étant un point du cercle ==> OM=OA+AM et z l'affixe de M apour expression z=3*i+4*exp(i *teta) où teta est l'angle orienté que fait AM avec l'axe des x.

b) exprimez l'affixe z' de M' en fonction de téta et déduisez en que M' appartient aussi à sigma

L'affixe de M' est z=(3iz-7)/(z-3i)=(3*i*z+9-16)/(z-3*i)=3*i*(z-3*i)/(z-3*i-16/(z-3*i)=3*i-16/(z-3*i) et comme z=3*i+4*exp(i *teta) ==> z'=3*i-16/(4*exp(i *teta) )=3*i-4*exp(-i*teta) et z' appartient bien à sigma puisque tout point de sigma est de la forme 3*i+4*(± exp(i*k) où k est un réel

c) démontrez que z'= -z barre puis déduisez en , en la justifiant, une construction géométrique de M'

z=3*i+4*exp(i *teta) ==> zb=-3*i+4*exp(-i *teta) et -zb=z'=3*i-4*exp(-i *teta)

3) on considère un cercle de centre A et de rayon r (r réel positif) précisez l'image de ce cercle par f

z=3*i+r*exp(i *teta) ==> z'=3*i-16/(r*exp(i *teta))=3*i-(16/r)*exp(-i *teta)) et le lieu de M' est un cercle de rayon 16/r centré en A.

A vérifier......