Congruences

[louxo]

1) Déterminer selon les valeurs de l'entier naturel n les restes de la division euclidienne par 7 de :

- 2^n

- 3^n

2)En déduire les entiers naturels tels que 7 divise 2^n+3^n

merci d'avance pour votre aide.

[Barbidoux]

1) Déterminer selon les valeurs de l'entier naturel n les restes de la division euclidienne par 7 de :

2)En déduire les entiers naturels tels que 7 divise 2^n+3^n

Le tableau ci dessus montre que pour n=3+6*k le reste de la divison (2^n +3^n)/7 vaut 7 ce qui signifie que ce nombre est divisible par 7.

[Barbidoux]

Voilà la suite...

L'examen du tableau précédent permet de montrer que le reste de la division euclidienne de 2^k par 7 où k appartient à N vaut 2, 4 ou 1. Il vaut :

1 pour 2^(3k).

2 pour 2^(1+3*k)=2*2^(3*k),

4 pour 2^(2+3*k)=2^2*2^(3*k)

De même le reste de la division euclidienne de 3^k par 7 où k appartient à {1,......n} vaut 3,2,6,4,5 ou 1. Il vaut :

1 pour 3^(6*k)

3 pour 3^(1+6*k)=3*3^(6*k),

2 pour 3^(2+6*k)=3^2*3^(6*k),

6 pour 3^(3+6*k)=3^3*3^(6*k),

4 pour 3^(4+6*k)=3^4*3^(6*k),

5 pour 3^(5+6*k)=3^5*3^(6*k)

Donc les nombres (2^n+3^n) divisibles par 7 sont ceux dont la somme des restes est divisible par 7 soit par exemple 2^(3+6*k)+3^(3+6*k) mais ce n'est pas le seul et les nombres (2^n+3^n) divisibles par 7 sont :

2^0+3^3

2^(1+6*k)+3^(5+6*k)

2^(2+6*k)+3^(1+6*k)

2^(3+6*k)+3^(3+6*k)

où k appartient à N.

A vérifier....