Fonction Exponentielle

[sonia22]

*bonjours je n'arrive pas un exercice qui est à faire pour lundi je bloque totalment j'aurai besoin de votre aide merci d'avance

On se propose d'étudier certaines fonctions fk de la variable réelle x définies sur [ 0; + inf [ par fk (x) = x e ^(-x) + kx où k est un réel donné quelconque.

1) a) déterminer , selon les valeurs du réel k , lim quand x tend vers + l'infini de fk (x)

b) montrer que la droite (Dk) d'équation y= kx est asymptote en + l'infini à la courbe ( Ck) représentative de fk . Puis préciser la position de (Ck) par rapport a (Dk)

c) calculer f ' k (x) puis f '' k (x) . Donner selon le réel k, lim quand x tend vers + l'infini de f ' k (x). donner le sens de variation de f ' k

2) donner les tableaux de variations de f0 et f1

3)a) donner les coefficients directeurs des tangeantes , à l'origine, (T0) et ( T1) respectivement aux courbes (C0)et (C1)

b) construire (T0) et (T1) , les asymptotes (D0) et (D1), les courbes (C0) et (C1) / ( O;i;j) orthonormal - unité 5cm

[Ericovitchi]

1) a) déterminer , selon les valeurs du réel k , lim quand x tend vers + l'infini de fk (x)

On sait que dans tous les cas xe^-x tends vers zéro donc il suffit d'étudier la limite de kx (si k >0 c'est + l'infini et si k<0 c'est - l'infini)

b) montrer que la droite (Dk) d'équation y= kx est asymptote en + l'infini à la courbe ( Ck) représentative de fk . Puis préciser la position de (Ck) par rapport a (Dk)

Une droite y=kx est assymtote si f(x)- kx tends vers zéro. C'et bien le cas puisque f(x)-kx = xe^-x

c) calculer f ' k (x) puis f '' k (x) . Donner selon le réel k, lim quand x tend vers + l'infini de f ' k (x). donner le sens de variation de f ' k

f'(x)=e^(-x) -xe^(-x) + k De la même manière les e^--x) tendent vers zéro donc f'(x) tends vers k (et c'est bien normal que la dérivée tende vers la pente de l'assymptote)

f"(x) = -e^(-x) - e^(-x) + xe^(-x) = e^(-x) (x-2) est positif pour x>2 et négatif pour x<2 donc la dérivée décroit jusqu'à x=2 et croit après

Comme pour 2 la dérivée vaut -e^(-2)+k, si k > e^(-2) ka dérivée sera toujours positive mais si k < e^(-2) alors la dérivée coupe l'axe des x et donc s'annule 2 fois. F(x) a donc dans ce cas des extremum.

2) donner les tableaux de variations de f0 et f1

3)a) donner les coefficients directeurs des tangentes , à l'origine, (T0) et ( T1) respectivement aux courbes (C0)et (C1)

Faire f'(0) pour C0 et C1

b) construire (T0) et (T1) , les asymptotes (D0) et (D1), les courbes (C0) et (C1) / ( O;i;j) orthonormal - unité 5cm

[Barbidoux]

1----------------------

il faut savoir que x/exp(x) ->0 lorsque x->

Lorsque x-> alors x/exp(x) ->0 et f(x) k*x ce qui fait que :

k...................(-).............(0)..............(+).........

f(x,k) ->...... -:.............(0).............. ......

et la droite y=k*x est assymtote au graphe de f(x,k). Comme f(x,k)-k*(x)= x/exp(x)=0⁺ lorsque x-> le graphe de f(x) tend vers son assymtote par valeurs supérieures.

-----------------------

f(x,k)= x*exp(-x)+k*x

f'(x,k)=exp(-x)-x*exp(-x)+k

f"(x,k)=x*exp(-x)-2*exp(-x)=(exp(-x)*(x-2)

x-> ==> f'(x) ≈ k -> k

..............................2........................

f"(x,k)....(-)............(0)..........(+).........

f'(x,k)..decrois.......Min.....crois..........

2--------------------------

f(x,0)= x*exp(-x)

f'(x,0)=exp(-x)-x*exp(-x)

f"(x,0)=x*exp(-x)-2*exp(-x)=(exp(-x)*(x-2)

...................................1..............................

f'(x,0).........(+)............(0)..........(-)..............

f(x,0).....crois.............Max.....decrois...........

---------------------

f(x,1)= x*exp(-x)+x

f'(x,1)=exp(-x)-x*exp(-x)+1

f"(x,1)=x*exp(-x)-2*exp(-x)=(exp(-x)*(x-2)

f'(x,1)=exp(-x)-x*exp(-x)+1=(1-x+exp(x))/exp(x) et comme exp(x)>x ==> f'(x,1)>0 qq soit x et f(x,1) croissante sur R

3---------------------

Les coefficients directeurs des tangentes à l'origine (T0) et (T1) valent respectivement f'(0,0)=1 et f'(0,1)=2

A vérifier......

[sonia22]

1----------------------

il faut savoir que x/exp(x) ->0 lorsque x->

Lorsque x-> alors x/exp(x) ->0 et f(x) k*x ce qui fait que : comment est ce que l'on peut dire cela? je ne comprend pas ici

k...................(-).............(0)..............(+).........

f(x,k) ->...... -:.............(0).............. ......

et la droite y=k*x est assymtote au graphe de f(x,k). Comme f(x,k)-k*(x)= x/exp(x)=0⁺ lorsque x-> le graphe de f(x) tend vers son assymtote par valeurs supérieures.

-----------------------

f(x,k)= x*exp(-x)+k*x

f'(x,k)=exp(-x)-x*exp(-x)+k

f"(x,k)=x*exp(-x)-2*exp(-x)=(exp(-x)*(x-2)

x-> ==> f'(x) ≈ k -> k

..............................2........................

f"(x,k)....(-)............(0)..........(+).........

f'(x,k)..decrois.......Min.....crois..........

2--------------------------

f(x,0)= x*exp(-x)

f'(x,0)=exp(-x)-x*exp(-x)

f"(x,0)=x*exp(-x)-2*exp(-x)=(exp(-x)*(x-2)

...................................1..............................

f'(x,0).........(+)............(0)..........(-)..............

f(x,0).....crois.............Max.....decrois...........

---------------------

f(x,1)= x*exp(-x)+x

f'(x,1)=exp(-x)-x*exp(-x)+1

f"(x,1)=x*exp(-x)-2*exp(-x)=(exp(-x)*(x-2)

f'(x,1)=exp(-x)-x*exp(-x)+1=(1-x+exp(x))/exp(x) et comme exp(x)>x ==> f'(x,1)>0 qq soit x et f(x,1) croissante sur R

3---------------------

Les coefficients directeurs des tangentes à l'origine (T0) et (T1) valent respectivement f'(0,0)=1 et f'(0,1)=2

A vérifier......

[Barbidoux]

1----------------------

il faut savoir que x/exp(x) ->0 lorsque x->

Lorsque x-> alors x/exp(x) ->0 et f(x) k*x ce qui fait que : comment est ce que l'on peut dire cela? je ne comprend pas ici

f(x)=x/exp(x)+k*x lorsque x-> on sait que x/exp(x)-> 0 alors on peut dire que f(x) k*x tend vers k*x soit k* et vers - si k<0 et + si k>0 ce qui est indiqué dans le tableau ci dessous

k...................(-).............(0)..............(+).........

f(x,k) ->...... -:.............(0).............. ......

et la droite y=k*x est assymtote au graphe de f(x,k). Comme f(x,k)-k*(x)= x/exp(x)=0⁺ lorsque x-> le graphe de f(x) tend vers son assymtote par valeurs supérieures.