Ongruence

[menaoui]

bonjour on me demande de montrer que 3*5^(2n+1)+2^(3n+1) est divisible par 17

le prof nous a dit de le faire avec la recurrence (fait et ça marhce bien) et par les congruences alors je fais mes étapes... et je fini sur:

3*25^(n+1)+8^(n+1) congru à 8^n*32 modulo 17

mais je vois pas comment apres pour montrer que c'est congru à 0 (mod17)

pouvez vous m'expliquer merci

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Comme pour les autres messages, je n'ai pas fait de TS, donc, je ne peux pas garantir mes calculs sur la Spé.

Etudions 3*5^(2n+1).

3*5^(2n+1) = 15*25^n

a congrue b mod n ==> a^n congrue b^n mod n.

a congrue b mod n ==> pour k\in\R, ka congrue kb mod n.

Donc, 25 congrue 8[17] ==> 25^n congrue 8^n[17] => 15*25^n congrue 15*8^n[17]

En équation, ça donne : il existe m dans N tel que : 15*25^n = 17m + 15*8^n.

Or, 2^(3n+1) = 2*8^n. Donc 15*25^n + 2^(3n+1) = 17m + 15*8^n + 2*8^n = 17m + 17*8^n = 17*(m+8^n).

Donc, 15*25^n + 2^(3n+1) congrue 0 mod 17. CQFD.

[elp]

je mets @ pour "congru à "

3*5^(2n+1)=3*5*5^(2n)=15*(5²)^n=15*25^n

2^(3n+1)=2*2^3n=2*(2^3)^n=2*8^n

on a dc:(j'appelle r le nombre étudié)

r=3*5^(2n+1)+2^(3n+1)=15*25^n+2*8^n

modulo 17, on a:

15 @15

25@8 dc 25^n @8^n dc 15*25^n @ 15*8^n

on en déduit:

r @ 15*8^n+2*8^n

r@(15+2)*8^n

r@17*8^n

r@0

[menaoui]

j' compris le truc mais d'ou vient le 15 car pour moi, 3*25^(n+1) different de 15*25^(n+1) nn?

[Boltzmann_Solver]

j' compris le truc mais d'ou vient le 15 car pour moi, 3*25^(n+1) different de 15*25^(n+1) nn?

[menaoui]

ah oui ok j'ai comrpis tout à fait il fallait y penser!!!! Astucieux... Merci beaucoup