Maths

[amethys]

bonjour voilà je dois resoudre l'exo suivant

ABC est un tétraèdre

1/placer les point M,N,P,Q et I tels que: vec CM=1/2 vec CB

vec DN=1/4DC

vec AP=2/3AD

vec AQ=2/5AB

et vec BI=3/2BD

il s'agit de prouver que les points M N P etQ sont coplanaires

a/ demontrer que I est le point des droites (MN) et (PQ) et conclure

b/ faire une demonstration direct sans utiliser le point I

merci

[Barbidoux]

On utilise le référentiel (AB,AC,AD) et l'on utilise les données de l'énoncé pour déterminer les coordonnées des différents points dans ce référentiel :

M{1/2; 1/2; 0}

N{0; 1/4; 3/4}

P{0; 0; 2/3}

Q{2/5; 0; 0}

I{-1/2,; 0; 3/2}

a------------------

MN{1/2; -1/4; 3/4} et MI{-1; -1/2; 3/2} ==> MN=(1/2)*MI ==> I appartient à MN

PQ{2/5; 0; -2/3} et PI{-1/2; 0; 5/6} ==> PQ=-(4/5)*PI ==> I appartient à MN ==> I est le point d'intersection de MN et PQ et I,M, M, P et Q sont coplanaires

b-------------------

Les trois points M, N et P dans l'espace définissent un plan d'équation générale :

a*x+b*y+c*z+1=0

Le plan passe par M ==> x/2+y/2+1=0

Le plan passe par N ==> y/4+3*z/4+1=0

Le plan passe par P ==>2*z/3+1=0

La résolution de ce système de trois équations à trois inconnues conduit à x =-5/2, y =1/2, z=-3/2 et l'équation du plan s'écrit :

-5 x + y - 3*z + 2=0

Les coordonnées de Q{2/5; 0; 0} vérifient l'équation du plan donc Q appartient à ce plan et les points M, N, P, Q sont coplanaires. Les coordonnées de I{-1/2,; 0; 3/2} vérifient l'équation du plan donc I appartient aussi à ce plan.