Exercices Limites Et Asymptotes.

[Boltzmann_Solver]

As tu des questions sur les explications précédentes?

BS

[Boltzmann_Solver]

Excuse moi, j'ai lu ta correction trop vite!

Tu as fait une faute à la 1ère ligne!!!!

f(x) - y(x) > 0

sqrt(x²+2x+4) - (-x-1) > 0

sqrt((x+1)²+3) + (x+1) >0

abs(x+1)*(sqrt(1+3/(x+1)²) + 1) > 0

Toujours vraie sur R car abs est par définition positive et (sqrt(1+3/(x+1)²) + 1) est aussi toujours positive comme somme de terme positifs.

Conclusion, la tangente en -inf est toujours en dessous de f(x) sur R.

[Bond02]

<br />Excuse moi, j'ai lu ta correction trop vite!<br /><br />Tu as fait une faute à la 1ère ligne!!!!<br /><br />f(x) - y(x)<br />sqrt(x²+2x+4) - (-x-1) &gt; 0<br />sqrt((x+1)²+3) + (x+1) &gt;0<br />abs(x+1)*(sqrt(1+3/(x+1)²) + 1) &gt; 0<br /><br />Toujours vraie sur R car abs est par définition positive et (sqrt(1+3/(x+1)²) + 1) est aussi toujours positive comme somme de terme positifs.<br />Conclusion, la tangente en -inf est toujours en dessous de f(x) sur R.<br />

[Boltzmann_Solver]

<br />Excuse moi, j'ai lu ta correction trop vite!<br /><br />Tu as fait une faute à la 1ère ligne!!!!<br /><br />f(x) - y(x)<br />sqrt(x²+2x+4) - (-x-1) &gt; 0<br />sqrt((x+1)²+3) + (x+1) &gt;0<br />abs(x+1)*(sqrt(1+3/(x+1)²) + 1) &gt; 0<br /><br />Toujours vraie sur R car abs est par définition positive et (sqrt(1+3/(x+1)²) + 1) est aussi toujours positive comme somme de terme positifs.<br />Conclusion, la tangente en -inf est toujours en dessous de f(x) sur R.<br />

[Bond02]

<br />Excuse moi, j'ai lu ta correction trop vite!<br /><br />Tu as fait une faute à la 1ère ligne!!!!<br /><br />f(x) - y(x)<br />sqrt(x²+2x+4) - (-x-1) &gt; 0<br />sqrt((x+1)²+3) + (x+1) &gt;0<br />abs(x+1)*(sqrt(1+3/(x+1)²) + 1) &gt; 0<br /><br />Toujours vraie sur R car abs est par définition positive et (sqrt(1+3/(x+1)²) + 1) est aussi toujours positive comme somme de terme positifs.<br />Conclusion, la tangente en -inf est toujours en dessous de f(x) sur R.<br />

[Boltzmann_Solver]

<br />Excuse moi, j'ai lu ta correction trop vite!<br /><br />Tu as fait une faute à la 1ère ligne!!!!<br /><br />f(x) - y(x)<br />sqrt(x²+2x+4) - (-x-1) &gt; 0<br />sqrt((x+1)²+3) + (x+1) &gt;0<br />abs(x+1)*(sqrt(1+3/(x+1)²) + 1) &gt; 0<br /><br />Toujours vraie sur R car abs est par définition positive et (sqrt(1+3/(x+1)²) + 1) est aussi toujours positive comme somme de terme positifs.<br />Conclusion, la tangente en -inf est toujours en dessous de f(x) sur R.<br />

[Boltzmann_Solver]

Exo n°1.

1) Limite en +inf vaut +inf car le coef de plus faut degré de f(x) est positif. Je suppose que tu sais cela.

2)

Ce résultat n'est pas forcement incohérent (contrairement à se que tu dis). Cela signifie simplement qu'il existe un nombre impair de solutions à l'équation : Pour tout x=>100, f'(x) = 0 avec f''(x) différant de 0. Ce qui se traduit en Français par : Il existe un nombre impair de solution(s) à l'équation f'(x) = 0 pour x supérieur à 100 avec changement du signe de la dérivée 1ère au alentour de ce point (que je traduis mathématiquement par un point de pseudo inflection de la fonction à minima).

3)

Donc, Cherchons x vérifiant ces inégalités :

10006/x<1/4

10006<1/4x

x>10006*4

x>40024

110006/x^3<1/4

110006<1/4*x^3

x^3>110006*4

x> 440024^(1/3)

x> 77

Or, 400024^(1/3) < 40024. Donc, les deux inégalités sont vraies pour x > 40024.

Maintenant, cherchons à minorer f(x) .

10006/x < 1/4 et 110006/x^3<1/4

-10006/x>-1/4 et -110006/x^3> -1/4

-10006/x -110006/x^3> -1/2

1-10006/x -110006/x^3> 1-1/2

1-10006/x -110006/x^3>1/2

En ajoutant les contributions en 1/x² et 1/x^4 et en multipliant par x^4 (Cela ne modifie pas le sens de l'inégalité car x^4=>0), on obtient l'encadrement :

f(x) > x^4(1/2 + 60011/x² +6000/x^4) = x^4/2 + 60011*x² +6000 = g(x)

Or, sur R+, + 60011*x² +6000 est positif croissant.

Donc, pour x > 40024, g(x) a un minorant en 40024 qui est g(40024).

4)

Par application de la question 3, si on étend la partie supérieur du domaine au dela de 40024, alors, on aura la tendence finale de f(x).

Exercice n°2.

Par ma méthode (plus générale car applicable pour des fonctions non polynomiale)

En + inf :

Équation de l'asymptote :

lim_{x-->+inf} f(x)/x = lim_{x-->+inf} sqrt((x^2+2x+4)/x^2) = lim_{x-->+inf} sqrt(1+2/x+4/x^2) = 1.

Donc la pente en +inf, vaut 1

Ensuite tu fais : lim_{x-->+inf} sqrt(x^2+2x+4) - x Là, tu as une forme indéterminée. Soit ut connais les DL, soit tu utilises les quantités conjugués.

lim_{x-->+inf} sqrt(x^2+2x+4) - sqrt(x²) = lim_{x-->+inf} (sqrt(x^2+2x+4) - sqrt(x²))*(sqrt(x^2+2x+4) + sqrt(x²))/(sqrt(x^2+2x+4) + sqrt(x²)) = lim_{x-->+inf}(x^2+2x+4 - x^2)/(sqrt(x^2+2x+4) + sqrt(x²)) = lim_{x-->+inf} 2x/(sqrt(x²)+sqrt(x²)) = lim_{x-->+inf} (2x)/(2abs(x)) = 1.

Donc l'asymptôte est y(x) = x+1.

Position relative :

f(x) - (x+1) > 0

sqrt(x²+2x+4) - (x+1) >0

sqrt(x²+2x+4) > (x+1) (Au carré, pas de changement de signe car tout les termes sont positifs pour x >-1)

x²+2x+4 > x²+2x+1

4>1 Toujours vrai.

Donc, f(x) est au dessus de son assymptote en +inf au minimum pour x >-1

En -inf.

Équation de l'asymptote :

lim_{x-->-inf} f(x)/x = lim_{x-->-inf} -sqrt((x^2+2x+4)/x^2) = lim_{x-->-inf} -sqrt(1+2/x+4/x^2) = -1. (Car pour x<0, x = -sqrt(x²))

Donc la pente en +inf, vaut -1

Ensuite tu fais : lim_{x-->-inf} sqrt(x^2+2x+4) - (-x) Là, tu as une forme indéterminée. Soit tu connais les DL, soit tu utilises les quantités conjugués.

lim_{x-->-inf} sqrt(x^2+2x+4) - sqrt(x²) = lim_{x-->-inf} (sqrt(x^2+2x+4) - sqrt(x²))*(sqrt(x^2+2x+4) + sqrt(x²))/(sqrt(x^2+2x+4) + sqrt(x²)) = lim_{x-->-inf}(x^2+2x+4 - x^2)/(sqrt(x^2+2x+4) + sqrt(x²)) = lim_{x-->-inf} 2x/(sqrt(x²)+sqrt(x²)) = lim_{x-->+inf} (2x)/(2*abs(x)) = -1.

Donc l'asymptôte est y(x) = -x-1.

Position relative. Donc,

f(x) - (-(x+1) > 0

f(x) + (x+1) > 0

f(x) > -(x+1) Pour x<-1, on a que des termes positifs, donc, on peut passer au carré

x²+2x+4 > x²+2x+1

4>1 Touujours vraie.

Donc, pour x <-1, l'assymptôte est au dessous de f(x).

Méthode de Barbidoux : (Je me permets de copier son message)

Ce que Barbidoux a remarqué. C'est que l'on peut factoriser à une constante près, ce qu'il y a à l'intérieur de la parenthèse.

Donc, on peut écrire que f(x) = =√((x+1)^2+2).

Quand on a ce genre d'écriture, il apparait évident de factoriser par x+1 car le résidue de la racine deviendra négligeable devant la constante. Mais pour la factorisation, on doit prendre la valeur absolue (Moi, je modifiais le signe suivant les valeurs de x).

f(x)=√(x^2+2*x+4) =|x+1|*√(1+2/(x+1)^2)

Lorsque x-> + 2/(x+1)^2 ->0 et f(x) |x+1|=x+1 -> et la droite y=x+1 est assymtote au graphe de f(x) et comme f(x)=|x+1|*(1+0⁺ )==> f(x)-(x+1)=0⁺ et f(x) tend vers son assymtote par valeurs supérieures

Lorsque x-> - 2/(x+1)^2 ->0 et f(x) |x+1|=-x-1 -> et la droite y=-x-1 est assymtote au graphe de f(x) et comme f(x)=|x+1|*(1+0⁺ )==> f(x)-(-x-1)=0⁺ et f(x) tend vers son assymtote par valeurs supérieures.

Voila. Je crois avec le recul que je vais arrêter de faire les corrections didactique. Je ne suis pas assez doué pour ça (En plus, je laisse passer des erreurs...)