Etude De Fonction Exponentielle (Dm) Ts

[Perle-]

Bonjour,

Voila je suis en Terminale S et j'ai un devoir à faire, voici l'énoncé :

On appelle f la fonction définie sur l'intervalle [0,+&[ par f(x) = x+1+xe^(-x)

1. f' et f'' désignent respectivement les dérivées première et seconde de f,

a. Calculer, pour tout réel x, f'(x) et f''(x)

b. Etudier le sens de variation de la dérivée f'

c. Démontrer que, pour tout réel x, f'' (x)>0

d. Calculer la limite de f en +inf

e .Dresser le tableau de variation de la fonction f

2. Soit la droite (D) d'équation y= x+1

a) Démontrer que (D) est asymptote à ©

Préciser la position relative de (D) et ©.

b) Montrer que la courbe © admet en un point A une tangente parallèle à la droite (D)

Déterminer les coordonnées de A.

3. Démontrer que l'équation de f(x) =2 admet sur [0,+inf[ une unique solution notée &, puis vérifier que 0<&<1

4.a)Construire la droite (D), le point A défini en 2b , la courbe C et la tangente en A à la courbe ©.

b) Donner par lecture graphique une valeur approchée de &.

Alors ,

1)a) *f(x) = x+1+xe^(-x)

On pose u(x) = x+1 u'(x) = 1

v(x) = xe^(-x) v'(x) = e^(-x)+x(-e^(-x))

= e^(-x) -xe^(-x)

=e^(-x)(1-x)

=> f'(x) = 1+e^(-x)(1-x)

*f''(x) = (1+e^(-x)(1-x))'

=(e^(-x)(1-x))'

On pose u(x)=e^(-x) u'(x)=-e^(-x)

v(x)=(1-x) v'(x) = -1

f''(x)=-e^(-x)(1-x)-e^(-x)

f''(x)=e^(-x)(x-2)

1)b)f'(x)=1+e^(-x)(1-x)

f''(x)=e^(-x)(x-2)

Et x différent 2

Donc:

x | 0 2 +inf

x-2| - 0 +

e^-x| + + + +

f''x | - 0 +

f'x | 2 (Décroissante)| 1-e^(-2)|(Croissante)1

lim f'(x) = (1-x)e^(-x)+1=e^0 * 1+1= 1+1=2

x->0

f'(2) = 1+e^(-2)(1-2)=1+e^(-2)(-1) = 1-e^(-2)

lim f'(x)=lim 1+e^(-x)(1-x)=lim1+e^(-x)-xe^(-x)=

x->+inf x->+inf x->+inf

*lim 1+e^(-x)=lim 1+1/e^(x)=1 (car lim e^x=+inf > lim 1/e^(x) = 0)

x->+inf x->+inf x->+inf x->+inf

*lim e^(-x)=0

x->+inf

*lim -x = - inf

x->+inf

Donc lim f'(x) = 1 (pour le tableau de variation)

x->+inf

Maintenant que j'ai étudié le sens de variation de la dérivée f' je ne sais pas comment m'y prendre afin de démontrer que pour tout réel x positif ,f'(x) >0.

Donc si vous pourriez m'aider sa serait sympa !!

1)c) f(x) = x+1 +xe^(-x)

lim x+1 = + inf et lim xe^(-x) = lim x/e^(x)= 0

x->+inf x->+inf x->+inf

Et donc pour les variations ,je ne sais pas si f(x) est croissante ou décroissante sur [0;+inf[

Mais lim f(x)=1 et lim f(x)=+inf

x->0 x->+inf

2)a)lim f(x)-D= lim x+1+xe^(-x)-x-1=lim xe^(-x)=0

x->+inf x->+inf x->+inf

Donc D:y=x+1 est une asymptote oblique à C en +inf .

Après il faut préciser la position relative de D et de C càd étudier le signe de f(x)-D càd le signe de xe^(-x)mais j'y arrive pas .

b)Je sais que l'équation de la tangente est : T:y=f'(a)(x-a)+f(a)

Mais comment faire pour montrer que la courbe admet une tangente parallèle à la droite D ??

Et pour les coordonnées de A , je ne sais pas du tout donc voila je bloque à partir de cette question jusqu'à la fin , j'aimerais que vous m'aidiez silvouplait !!

Je vous remercie.

Au plaisir,

[Barbidoux]

On appelle f la fonction définie sur l'intervalle [0,+ ∞ [ par f(x) = x+1+x*exp(-x)

1. f' et f'' désignent respectivement les dérivées première et seconde de f,

a. Calculer, pour tout réel x, f'(x) et f''(x)

f'(x)=1+(1-x)/exp(x)

f''(x)=(x-2)/exp(x)

b. Etudier le sens de variation de la dérivée f'

x >0 exp(x)>x ==> 1>x/exp(x) ==> 1-x/exp(x) >0 et 1/exp(x)>0 ==>

f'(x)=1+(1-x)/exp(x) >0

c. Démontrer que, pour tout réel x, f'' (x)>0

Là je en comprends pas car f''(x)=(x-2)/exp(x) n'est >0 que pour x>2 ???

d. Calculer la limite de f en +inf

Lorsque x -> ∞ ==> x/exp(x)->0 ==> f(x) ≈1+x ->∞

e .Dresser le tableau de variation de la fonction f

x............0...........................2................................... ∞

f''(x)...................(-)............(0)..................(+)...............

f'(x)...................(+)..................................(+)...............

f(x)..........0.....crois.......pt. inflexion........crois............

2. Soit la droite (D) d'équation y= x+1

a) Démontrer que (D) est asymptote à ©

Préciser la position relative de (D) et ©.

orsque x -> ∞ ==> x/exp(x)->0 ==> f(x) ≈1+x et y=1+x est assymtote au graphe de f(x). La fonction f(x)-y=x/exp(x) ->0 par valeurs positives ce qui monter que le graphe de f(x) est au dessus de celui de f(x).

b) Montrer que la courbe © admet en un point A une tangente parallèle à la droite (D) Déterminer les coordonnées de A.

La tangente à © admet en A parallèle à y=x+1 à même coefficient directeur que y et l'abscisse du point A est telle que y'(x)=1 ==>1+(1-x)/exp(x)=1 ==> x=1 ==>y=(f1)=2+1/exp(1) ==> A{1; 2+1/exp(1)}

et l'équation de la tangente est y=x+ 1+1/exp(1)

3. Démontrer que l'équation de f(x) =2 admet sur [0, ∞[ une unique solution notée &, puis vérifier que 0<&<1

x appartenant à l'intervalle [0, ∞ [, La fonction f(x) croit de la valeur 1 à + ∞ de manière monotone. Comme f(1) = 2+1/exp(1) >2 le graphe de f(x) intercepte celui de la droite y=2 pour une abscisse comprise entre 0 et 1. Ce qui montre que f(x) =2 admet sur [0, ∞[ une unique solution notée &, telle que 0<&<1

4.a)Construire la droite (D), le point A défini en 2b , la courbe C et la tangente en A à la courbe ©.

b) Donner par lecture graphique une valeur approchée de &.

&=0,66

A vérifier....