Dm Ts

[blood]

salut pouvez vous m'aider ??

merci

[Barbidoux]

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Partie A

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Graphe de f(x) entre [-3; 2]

Graphe de f(x) entre [-0,2; 0,4]

Sens de variation sur [-3,2] de f(x)=x^2*((exp(x-1)-1/2)

................................0.................( 0,2)..................

f(x).........crois........Max....decrois.......Min.........crois.......

f(x) au dessus de l'axe pour x 0,3

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Partie B

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1------------

f'(x)=x^2*exp(x-1) +2*x*exp(x-1)-x=x*(exp(x-1)*(2+x)-1)=x*g(x)

2a----------

x-> ==> g(x) x*exp(x) ->

x-> - ==> g(x)-> x*exp(x)-1 -> -1

2b-c----------

g'(x)=exp(x-1)+exp(x+1)*(2+x)=exp(x-1)*(3+x)

g'(x)=0 pour x=-3

......................................(-3)..................................

g'(x)................(-)............(0)...........(+)...................

g(x).........decrois...........Min........crois................

Le minimum vaut g(-3)=-1,018

2d----------

g(1)=2 ==> Le graphe de la fonction intercepte l'axe des x entre -3 et 1 ce qui montre que g(x)=0 possède une solution unique dans R dont la valeur approchée est calculée par dichotomie

x............g(x)............signe

0...........-0,264..........-

1............2.000..........+

0,5.........0,516...........+

0,2........-0,0114........-

0,22.......0,0176........+

0,21.......0,00299......+

0,205....-0,004263.....-

==> 0,205 < a <0,210

2e----------

............................0.210..............

g(x).......(-).............(0).......(+).....

3------------

3a-b-c---------

......................................0....................0.210...............

x.....................(-)..........(0)........(+).....................(+).........

g(x)................(-)........................(-)........(0).........(+).......

f(x)=x*g(x).....(+).........Max....decrois....Min........crois....

Conjecture verifiée

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Partie C

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1------------

g(a)=0 ==> exp(a-1)*(a+2)-1=0 ==> exp(a-1)=1/(a+2)

f(a)=a^2*(exp(a-1)-1/2)=a^2*(1/(a+2)-1/2)=a^2*(-a/(2*(a+2))=-a^3/(2+a)

2a-b----------

h(x)=-x^3/(x+2)

h'(x)=-3*x^2/(2*(x+2))+x^3/(2*(x+2)^2)=-x^2*(3+x)/(2+x)^2

h'(x)<0 sur [0,1] la fonction h(x) est décroisante monotone et sur [0,1] -1/6< f(a) <0

3------------

Les points d'intersection de de C avec l'axe xx' sont x=0 et x=a et la courbe C est en dessous de xx' pour x<a.

Conjecture confirmée

A vérifier........