Exercice Démo Par Récurrence

[Boltzmann_Solver]

Si je rajoute 4 a chaque membre , ca ne changera pas le signe , l'égalité sera quand même valable et j'arriverai à 3(n+1)^3+4 ≥ (n+2)^3

[Vit0]

Je ne la trouve pas =$

[Boltzmann_Solver]

Je ne la trouve pas =$

[Boltzmann_Solver]

Bon apparemment, tu as abandonné. Donc, la correction :

Soit la propriété Pn : Pour quelque soit n=>3, 3n^3 ≥ (n+1)^3.

Initialisation pour n=3

3*3^3 = 3^4 = 9² = 81

(3+1)^3 = 4^3 = 2^6 = 64

81 => 64 Donc Vrai.

Hérédité, Supposons, qu'il existe un n=>3 tel que : 3n^3 ≥ (n+1)^3. A t-on la propriété vrai au rang n+1.

Pn => 3n^3 ≥ (n+1)^3

Pn => n^3 => 1/3*(n+1)^3

Pn => n^3 + 3n² + 3n + 1 => 1/3(n+1)^3 + 3n² + 3n + 1

Pn => (n+1)^3 => 1/3(n+1)^3 + 3n² + 3n + 1

Pn => 3*(n+1)^3 => (n+1)^3 + 9n² + 9n + 3

Pn => 3*(n+1)^3 => (n+1)^3 + 9n² + 6n + 3(n+1)

A ce niveau il nous manque 3 pour former le (n+1)^2 et 1 pour former le (n+1 + 1)^3 Donc, on ajoute et soustrait 4

Pn => 3*(n+1)^3 => (n+1)^3 + 9n² + 6n + 3 + 3(n+1) + 1 - 4

Pn => 3*(n+1)^3 => (n+1)^3 + 3*(n² + 2n + 1) + 3(n+1) + 1 + 6n² - 4

Pn => 3*(n+1)^3 => (n+1)^3 + 3*(n+1)^2 + 3(n+1) + 1 + 6n² - 4

Pn => 3*(n+1)^3 => (n+1)^3 + 3*(n+1)^2*1 + 3(n+1)*1^2 + 1 + 6n² - 4

Pn => 3*(n+1)^3 => (n+2)^3 + 6n² - 4

Maintenant, il nous reste un terme 6n²-4. Tu peux aisement démontrer que pour n=>3 6n²-4>0. Donc,

Pn => 3*(n+1)^3 => (n+2)^3 + 6n² - 4 => (n+2)^3

Pn => P_{n+1}

Donc, si la propriété est vraie au rang n, alors elle sera vraie au rang n+1.

Conclusion, on a démontré que la propriété est vrai pour tout n =>3

Bonux : Démo analytique.

3n^3 ≥ (n+1)^3 => (3^(1/3)*n)^3-(n+1)^3 =>0

Pn => (3^(1/3)*n - n - 1)*(3^(2/3)+3^(1/3)*n*(n+1)+(n+1)^2) => 0

(3^(2/3)+3^(1/3)*n*(n+1)+(n+1)^2) => 0 car il n'y a que tes termes positifs sur n=>3

et

(3^(1/3)*n - n - 1) => 0 => (3^(1/3)-1)*n => 1 => n => 1/(3^(1/3)-1) (car (3^(1/3)-1) est positive sur le domaine considéré) => n=>2.23.

Donc, on a démontré la même chose de manière analytique.