Devoir De Maths Sur Les Suites

[Award]

Bonjour à tous j'ai un petit problème avec cet exercice.

Partie A

2)2 x2

f(2) f(x) f(2)

2 f(x)3/22

C'est cela? la redaction est bonne?

Merci

[Boltzmann_Solver]

En effet, d'après 1) f est monotone croissante pour x=> sqrt(2). Donc tu peux appliquer f sur l'inégalité sans changer le sens de l'inégalité.

La rédaction est OK!!

[Award]

Merci

J'en suis à la 1) Partie B

Il faut montrer que 2 Un 2

Je pense qu'il faut faire une récurrence.

J'arrive à faire l'initialisation

Mais pour l'hérédité,

Soit 2 Un 2

Est ce que 2 Un+1 2 ?

Et je part de 2 Un 2

Mais après?

[elp]

Merci

J'en suis à la 1) Partie B

Il faut montrer que 2 Un 2

Je pense qu'il faut faire une récurrence.

J'arrive à faire l'initialisation

Mais pour l'hérédité,

Soit 2 Un 2

Est ce que 2 Un+1 2 ?

Et je part de 2 Un 2

Mais après?

[Award]

Merci beaucoup

J'en suis à la question Partie B 3)

Il faut montrer que Un+1= ((Un-:sqrt:2)²/2Un) + :sqrt:2

Je fais une hérédité

Initialisation: c'est ok

Herédité : Soit Un+1= ((Un-:sqrt:2)²/2Un) + :sqrt:2

Est ce que Un+2= ((Un+1-:sqrt:2)²/2Un+1) + :sqrt:2

Début : Un+2 = Un+1 + Un

Je fais les calculs et j'arrive à

Un+2= ((3Un²-(Un*:sqrt:8)+2)/2Un) + :sqrt:2

Et là je suis bloqué. Help ^^

[Award]

Merci beaucoup

J'en suis à la question Partie B 3)

Il faut montrer que Un+1= ((Un- 2)²/2Un) + 2

Je fais une hérédité

Initialisation: c'est ok

Herédité : Soit Un+1= ((Un- 2)²/2Un) + 2

Est ce que Un+2= ((Un+1- 2)²/2Un+1) + 2

Début : Un+2 = Un+1 + Un

Je fais les calculs et j'arrive à

Un+2= ((3Un²-(Un* 8)+2)/2Un) + 2

Et là je suis bloqué. Help ^^

[elp]

supposons vraie l'égalité u(n+1)-rac(2)=(u(n)-rac(2))²/(2*u(n))

par déf:

u(n+2)=u(n+1)/2 + 1/u(n+1) dc

u(n+2)-rac(2)=u(n+1)/2 + 1/u(n+1) -rac(2)

on réduit au m déno 2*u(n+1) ds le 2è membre

on a au numérateur:

u(n+1)²+2-2rac(2)*u(n+1) qui vaut [u(n+1)-rac(2)]² (pense à (a-b)²=a²-2ab+b²)

et on a bien u(n+2)-rac(2)=[u(n+1)-rac(2)]²/2*u(n+1)

[Award]

Et pour la 4)a Il faut faire une récurrence?

SI oui je n'ai pas le depart

Est ce que Vn+2 1/2*Vn+1 ?

Pour le début je fais quoi?

[elp]

v(n+1)=u(n+1)-rac(2)=(u(n)-rac(2))²/2u(n) + rac(2) - rac(2)=(u(n)-rac(2))²/2u(n)

(1/2)v(n)*v(n)/u(n)=(1/2)(u(n)-rac(2)*(u(n)-rac(2)/u(n)=(u(n)-rac(2))²/2*u(n)

on a bien l'égalité de la remarque

v(n+1)=(1/2)v(n)*v(n)/u(n)

mais v(n)/u(n)=[u(n)-rac(2)]/u(n)=1-rac(2)/u(n) dc c'est <1 car u(n) est entre rac(2) et 2

on a dc v(n+1)=(1/2)v(n)*v(n)/u(n)<(1/2)v(n)

hérédité

si v(n)<(1/2)^n alors v(n+1)<(1/2)v(n) est < (1/2)*(1/2)^n dc < (1/2)^(n+1)

v(n) >0 car u(n)=>rac(2)

0<v(n)<(1/2)^n

(1/2)^n td vers 0 qd n td vers +00 dc v(n) td vers 0 et u(n)-rac(2) td vers 0 dc u(n) td vers rac(2) qd n td vers +00