Aide Dm

[Allezlelosc_59]

Bonjour,

J'ai quelques difficultés pour deux exercices de mon devoir de maths. Je sollicite donc votre aide et vos conseils pour avancer.

EX1

Application complexe f(z) = (iz-4)/(z+i) avec -i comme valeur interdite

A d'affixe zA = -i

B d'affixe zB = 1-i

A chaque M du plan complexe privé de A, on associe M' d'affixe z'=f(z)

1) Image par f de 2 -> f(2) = 6/5 - 8/5 i

2) Antécédent par f de zb = 1 - i -> f(z) = zb et je trouve deux antécédents et non un ( z = 1/2 et z = 4). Trouvez-vous la même chose ?

3) Prouve que i n'a pas d'antécédent par f -> f(z) = i et on arrive à -4 = -1 donc impossible

4) En utilisant z = x+iy déterminer partie réelle et partie imaginaire de z' en fonction de x et y

Pouvez-vous vérifier mon résultat ?

Je trouve : (y-4x+4)/(x²+ y (y-2) +1) + i (x(x-1) + y (y-4) ) / (x² + y(y-2) + 1) Est-ce exact ?

5) Déduire l'ensemble E des pts M du plan tq M' appartient à (O , vecteur u)

Il faut donc faire Y = 0 et j'ai du mal à trouver l'ensemble (peut-être est-ce dû à la non véracité de mon résultat juste au dessus)

6) Déduire l'ensemble des F des pts M du plan tq M' appartient à (0, vecteur v)

Je trouve une droite d'équation y = - 4 + 4 x avec x différent de 0, y différent de 0 et y différent de 2 (encore une fois tout dépend de la véracité de mon résultat au 4)

7) Rechercher les éventuels points invariants par f -> comment faire ?

EX2

Trouver module et argument de

z = 1 cos alpha - i sin alpha avec alpha entre 0 et 2 pi -> Comment trouver le module ?

z = (1 - i tan téta) / ( 1 + itan téta) -> je remplace tan tété par sin téta/cos téta mais comment faire ensuite ?

u = 2 - 2i*racine de 3 résoudre X²= U trouver les 2 valeurs de X -> (a + ib) ²= 2 - 2i*racine de 3 -> est-ce la chose à faire ?

Résoudre z² = X et trouver les quatre solutions de z exposant 4 = U -> comment faire ?

Puis écrire U trigonométriquement et trouver les quatre solutions trigo de z exposant 4 = U

Voici. En l'attendre votre aide pour m'aider à avancer dans mon travail, je vous souhaite un excellent week-end.

[Allezlelosc_59]

S'il vous plaît ?

Merci d'avance

[Barbidoux]

EX1

Application complexe f(z) = (iz-4)/(z+i) avec -i comme valeur interdite

A d'affixe zA = -i

B d'affixe zB = 1-i

A chaque M du plan complexe privé de A, on associe M' d'affixe z'=f(z)

1) Image par f de 2 -> f(2) = 6/5 - 8/5 i

----------------------

Résultat correct

----------------------

2) Antécédent par f de zb = 1 - i -> f(z) = zb et je trouve deux antécédents et non un ( z = 1/2 et z = 4). Trouvez-vous la même chose ?

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(1-i)=(z*i-4)/(z+1) ==> z+i-z*i+1=z*i-4 ==> z*(1-2*i)=-i-5 ==> z=-(i+5)/(1-2*i) ==> z=-3/5-11*i/5

----------------------

3) Prouve que i n'a pas d'antécédent par f -> f(z) = i et on arrive à -4 = -1 donc impossible

----------------------

Résultat correct

----------------------

4) En utilisant z = x+iy déterminer partie réelle et partie imaginaire de z' en fonction de x et y

Pouvez-vous vérifier mon résultat ?

Je trouve : (y-4x+4)/(x?+ y (y-2) +1) + i (x(x-1) + y (y-4) ) / (x? + y(y-2) + 1) Est-ce exact ?

----------------------

(f(x+i*y)=(-4 + i* (x + i*y))/(i*+ x + i*y)=-(4+y-i*x)/(x+i*(1+y))

==-(4+y-i*x)*(x-i*(1+y))/(x^2+(1+y)^2)=(3 x + i*(-4 - x^2 - 5 y - y^2))/(x^2+(1+y)^2)

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5) Déduire l'ensemble E des pts M du plan tq M' appartient à (O , vecteur u)

Il faut donc faire Y = 0 et j'ai du mal à trouver l'ensemble (peut-être est-ce dû à la non véracité de mon résultat juste au dessus)

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Im(f(z))=0 ==> 4 +x^2 +5 y +y^2=0 ==>x^2+(y+5/2)^2-25/4+4 =0 ==> x^2+(y+5/2)^2=9/4 cercel de centre {0,-5/2} et de rayon 3/2

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6) Déduire l'ensemble des F des pts M du plan tq M' appartient à (0, vecteur v)

Je trouve une droite d'équation y = - 4 + 4 x avec x différent de 0, y différent de 0 et y différent de 2 (encore une fois tout dépend de la véracité de mon résultat au 4)

----------------------

Re(f(z))=0 ==> 3*x=0 ==> axe des ordonnées

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7) Rechercher les éventuels points invariants par f -> comment faire ?

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f(z)=z ==> z=(z*i-4)/(z+1) ==> z^2=-4==> points d’affixe 2*i et -2*i

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A vérifier, suite à venir ...

[Allezlelosc_59]

Merci, je regarde ce que tu as trouvé et je te dis si je ne comprends pas à certains endroits

[Barbidoux]

EX2

Trouver module et argument de

z = 1 cos alpha - i sin alpha avec alpha entre 0 et 2 pi -> Comment trouver le module ?

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|Z|= (Re(Z)^2+Im(z)^2) =1

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z = (1 - i*tan(a)) / ( 1 + i*tan(a)) -> je remplace tan tété par sin téta/cos téta mais comment faire ensuite ?

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|Z1/Z2|=|Z1]/|Z2| ==>

z = (1 - i*tan(a)) / ( 1 + i*tan(a) )= (Cos(a)-i*sin(a)) / (Cos(a)+i*sin(a))

|z|=1

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u = 2 - 2i* 3 résoudre X^2= U trouver les 2 valeurs de X -> (a + ib)

?

Résoudre z? = X et trouver les quatre solutions de z exposant 4 = U -> comment faire ?

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rappel z= |z|*exp(i*teta) ==> z^n=|z|^n*exp(i*teta)^n==> z^n=|z|^n*exp(i*n*teta)

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u=4*(1/2- i*( 3/2))=4*(cos(Pi/3)-i*sin(Pi/3))

u=x^2 ==> x= u ==>

x= 2*(cos(Pi/6)-i*sin(Pi/6)) et

x= 2*(cos(Pi/6+Pi)-i*sin(Pi/6+Pi))=2*(cos(7*Pi/6)-i*sin(7*Pi/6))

et par conséquent

z1= 2*(cos(Pi/12)-i*sin(Pi/12)) et

z2= 2*(cos(Pi/12+Pi)-i*sin(Pi/12+Pi))= 2*(cos(13*Pi/12)-i*sin(13*Pi/12))

z3= 2*(cos(7*Pi/12)-i*sin(7*Pi/12)) et

z4= 2*(cos(7*Pi/12+Pi)-i*sin(7*Pi/12+Pi)) = 2*(cos(19*Pi/12)-i*sin(19*Pi/12))

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A vérifier..........