Exo De Récurrence

[kilroy]

1) montrer que 1+2+...+n= n(n+1)/2

2) T1=1 , T2=3 , T3=6 , T4=10

a)exprimer Tn+1 en fonction de Tn et n

b)conjecturer l'expression de Tn en fonction de n

c)demontrer cette conjoncture par recurrence

d)on considere le nombre pyramidal: pi n=T1+T2+...+Tn

demontrer par recurrence que pi n =n(n+1)(n+2)/6

pour l'instant j'ai trouver que Tn+1=Tn+n+1 pour la 2)a) mais je suis pas sure

Est ce que l'on peut m'expliquer svp

merci

[Boltzmann_Solver]

1)

somme_{i=0}^{n} i = A (1)

Par changement de variable i=n-j, on obtient :

somme_{j=n}^{0} n-j = somme_{j=0}^{n} n-j = A (2)

On additionne (1) et (2)

somme_{i=0}^{n} i + somme_{j=0}^{n} n-j = 2A

somme_{i=0}^{n} i+n-i = somme_{i=0}^{n} n = n*(n+1) = 2A

A = n*(n+1)/2 CQFD.

2) Tu ne sais que ça sur Tn?????

[Denis CAMUS]

Bonsoir,

1) montrer que 1+2+...+n= n(n+1)/2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

n=6 ici

Tu additionnes les deux lignes verticalement, tu as donc 6 fois 7. Et c'est le double de ce que tu veux calculer.

n =6

n+1 =7

La somme des 6 premiers nombres est bien n(n+1) / 2

Tu peux généraliser directement avec n, mais j'avais la flemme de le disposer proprement en colonnes.