Asymptotes

[bzoin-aide-math]

Bonjour,

Est - ce que j'ai fais est juste ? ...

Pour trouver les asymptotes de la fonction y = (x +x )

ASYMPTOTE VERTICAL : Il n'y en a pas car le domaine de la fonction est R

ASYMPTOTE NON VERTICAL : m = lim (x^3 +x^2)/x = lim x^3/x

x->+/- x->+/- =1

P=x->+/- ( (x^3+x^2 )-x)( (x^3 + x^2)+ (x^3 +x^2)*x+x^2)/( (x^3+ x ^2 ))^2+ (x^3 +x^2)*x+x^2)

= lim ( x^3 +x^2-x^3 )/( (x^3 +x^2 ))^2 + (x^3 +x^2)*x+x^2)

x-> +/-

=lim x^2/3x^2 = 1/3

x-> +/-

ASYMPTOTE OBLIQUE : y=mx+p ==> y= x+1/3

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Est - ce que j'ai fais est juste ? ...

Pour trouver les asymptotes de la fonction y = (x +x )

ASYMPTOTE VERTICAL : Il n'y en a pas car le domaine de la fonction est R

ASYMPTOTE NON VERTICAL : m = lim (x^3 +x^2)/x = lim x^3/x

x->+/- x->+/- =1

P=x->+/- ( (x^3+x^2 )-x)( (x^3 + x^2)+ (x^3 +x^2)*x+x^2)/( (x^3+ x ^2 ))^2+ (x^3 +x^2)*x+x^2)

= lim ( x^3 +x^2-x^3 )/( (x^3 +x^2 ))^2 + (x^3 +x^2)*x+x^2)

x-> +/-

=lim x^2/3x^2 = 1/3

x-> +/-

ASYMPTOTE OBLIQUE : y=mx+p ==> y= x+1/3

[bzoin-aide-math]

Excuse moi. Pourrais tu préciser quelle notion de cours tu utilises pour calculer p (jusqu'à m, je suis ok). Je ne la comprends pas (et j'ai un peu de mal à lire les lignes aussi). Sinon, pour la valeur de p, elle est bonne. Je l'ai vérifié à l'aide d'un développement limité mais tu ne dois pas encore connaître l'outil. Donc, je ne te le présenterai pas.

[Barbidoux]

Pour trouver les asymptotes de la fonction y = (x +x )

[Boltzmann_Solver]

Cette fonction s'écrit f(x)=(x^3+x^2)^(1/3)= (x^2*(x+1))^(1/3). Je dirais que son domaine de définition n'est pas R mais [-1, [ puisque la puissance fractionnaire d'un nombre négatif n'est pas définie dans le corps des réels (c'est un nombre complexe).

Lorsque x-> f(x)=(x^3+x^la fonction f(x) tend vers son asymptote par valeurs supérieures.

La fonction est telle que f(-1)=0. La dérivée de cette fonction qui vaut f'(x)=(3 x^2+2 x)/(3 (x^3+x^2)^(2/3)) a une valeur infinie en x=-1 (f'(-1)= ) la fonction étant définie en ce point et ayant une valeur finie f(-1)=0 je pense que l'on peut en déduire que la fonction admet une tangente verticale en x=-1 (mais pas d'asymptote).

[Boltzmann_Solver]

Ce qui me semblait (de mes souvenirs de prépa mais je ne le défendrai pas bèque et ongle) c'est que les racines impaires sont définies sur R, mais que leur dérivée nième ne sont pas définies à cause d'un point anguleux en 0. Donc à la rigueur, on peut exclure x=(-1) (le zéro du polynôme) Mais le question portait que sur le domaine, donc je lui ai dit R. J'attends ton avis avec impatience et j'espère que je ne lui ai pas dit un bêtise.

[Boltzmann_Solver]

J'ai vérifié dans mes cours de prépa. Les racines impaires sont bien définies R mais non dérivables en 0 (Donc en x=0 et x=-1). Ainsi, les points anguleux permettent d'obtenir des pentes infinis sans asymptote. Conclusion, on doit retrouver les pentes infinis aux zéros du polynôme sous la racines (Démontrables en montrant que f^(n)(x) (avec n appartenant à N^* proportionnelle à ((x^3+x^2)^(-1/3))^(m) avec m appartenant à N^*)

@bzoin-aide-math : Je te déconseille de reprendre la conversation dans ton devoir. Je ne suis pas sûr que l'étude des points anguleux soit au programmes de lycée. (La aussi sans garantie car j'étais en STL au lycée et que nous n'avions pas l'étude à connaitre les points anguleux sauf pour abs(x)).

@bzoin-aide-math 2 : Je te déconseille de tracer la courbe avec un logiciel. Moi beaucoup de mes logiciels m'ont donnés n'importe quoi. (En faite tous ceux que j'ai testé mais pas tous les logiciels connus)

[Barbidoux]

@Barbidoux : Je pense que l'on peut montrer que les racines impaires sont définies sur R en utilisant le théorème des fonctions réciproques (en faite, je ne me souvient plus du vrai nom, ça doit être un corolaire du théorème de la bijectivité mais j'ai pas le courage de m'y replonger ce soir) qui dit que toute fonction bijective sur un intervalle admet une fonction f^(-1) inverse sur le même intervalle et qu'elle est elle aussi bijective. Ici x^3 est définie et continue sur R, dont il existe une fonction inverse (sqrt[3](x)) définie sur le même intervalle. Sinon, as tu vérifié son calcul sur l'ordonnée à l'origine (j'arrive pas à le relire...)? Moi quand je fais ce qu'elle me dit, je dois quand même faire un développement limité pour lever l'indétermination sur la forme 1-1.

[Boltzmann_Solver]

Exact, et bien rectifié, une confusion de ma part avec les racine paires.... ce qui fait que l'ensemble de définition de f(x)=(x^3+x^2)^(1/3)= (x^2*(x+1))^(1/3) est bien R. La fonction est continue sur son domaine de définition car elle est la composée de deux fonctions continues sur leur domaine de définition. Le graphe n'admet pas d'asymptote verticale étant donné que le domaine de définition de f est R. Je pense que l'on peut dire que lorsque x-> + ou - f(x)/x=(x^3+x^2)^(1/3) (x^3)^(1/3)= 1 et f(x)-x= x*(1+1/x)^(1/3)-x = x*((1+1/x)^(1/3)-1) x*(1+1/(3*x)-1)=1/3 ce qui fait que y=x +1/3 est une asymptote au graphe de f(x). Pour être complet il faudrait encore étudier la position du graphe par rapport à l'asymptote et les tangentes en x=-1 et x=0 mais cela n'est pas demandé... En espérant ne pas avoir fait d'erreurs...