1 Exo Sur Les Fonctions.

[domiyoji]

Bonjour à tous!Alors voilà j'ai fait la question 1 et la 2a pour le reste j'ai eu quelques difficultés..Voilà donc l'énoncé:

f est la fonction définie sur R*.f(x)=1-x-(1/x) et C sa courbe représentative dans un repère (O,i,j)

1.a)Prouvez que C admet une asymptote d'équation y=1-x.

b) Précisez la position de C par rapport à .

2.a)Etudiez les variations de f puis tracez et C.

b) Discutez suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l'équations f(x)=m.

3.a)Lorsque la droite d'équation y=m coupe C en deux points distincts M et N,calculez en fonction de m les coordonées du point I milieu de [MN].

b)on note A et B les points de C pour lesquels la tangente à C est horizontale.Calculez les coordonnées de A et B et prouvez que A,B et I sont

alignés.

Merci d'avance!

[Barbidoux]

1---------------------

f(x)=1-x-1/x

Lorsque x-> + ==> 1/x ->0 et f(x) 1-x -> - et y=1-x est asymtote au graphe de f(x). Comme f(x)-y= -1/x -> 0^- f(x) tend vers son assymtote par valeurs inférieures

Lorsque x-> - ==> 1/x ->0 et f(x) 1-x -> et y=1-x est asymtote au graphe de f(x). Comme f(x)-y= -1/x -> 0⁺ f(x) tend vers son assymtote par valeurs supérieures

2----------------------

f’(x)=-1+1/x^2 =(1-x^2)/x^2=(1-x)*(1+x)/x^2

.......................(-1)..............(0)..............(+1)...............

f’(x)....(-)..........(0).....(+)......||....(+)......(0).....(-)......

f(x)..décrois.....Min..crois......||...crois.....Max...décrois

2----------------------

f(x)=m ==> 1-x-1/x =m ==> m-1+x+1/x=0 ==>(x^2+(m-1)*x+1)/x=0. Le polynôme x^2+(m-1)*x+1 admet des racines lorsque (m-1)^2-4 >=0 ==> (m-1-2)*(m-1+2)=(m-3)*(m+1) 0 soit pour m appartenant à ] - -1] [3  [

3---------------------

Lorsque la droite d'équation y=m coupe C en deux points distincts M et N alors les abscisses de ces point sont solution de x^2+(m-1)*x+1 et la somme des racines de ce polynôme vaut -(m-1) et l’abscise du milieu I de AB vaut donc (m-1)/2 et son ordonnée vaut donc m d’où I{(1-m)/2; m}

4---------------------

La tangente à C est horizontale lorsque f’(x)=(1-x)*(1+x)/x^2=0 soit pour x=1 et x=-1 et A{1; f(1)} ==> A{1; -1} et B{-1; f(-1)} ==> B{-1,3} on en déduit que AB{-2; 4} et IA{(1+m)/2; -(1+m)}. Les vecteurs AB et IA ayant même coefficients directeurs -2 et un point commun (le point A) on en déduit que les points A,B et I sont alignés.