Devoir Maison

[naraht]

bonjour, j'ai un dm de maths, s'il y a quelqu'un pour me donner un coup de pouce; merci.

[ajl]

bonjour, j'ai un dm de maths, s'il y a quelqu'un pour me donner un coup de pouce; merci.

[naraht]

merci!!! j'ai eu quelques petit soucis avec ma connexion internet, enfin cela c'est arrangé; merci !

[naraht]

pourrais-je avoir d'autres coup de pouce pour les autres exercices ???????

[Barbidoux]

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u₀=1/8

u₁=(1/8)*(2-1/8)=15/64

u₂=(15/64)*(2-15/64)=15*113/64^2

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v_n=1-u_n ==> u_n=1-v_n

v_n+1=1-u_n+1=1-u_n*(2-u_n)

=1-(1-v_n)*(2-1+v_n )=1-(1-v_n)*(1+v_n)

=1-(1-v_n^2)=v_n^2

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v_n=v₁^(2^n)=(1-v₁)^(2^n)

=(1-a*(a-2))^(2^n)=(1-2*a+a^2)^(2^n)

=((1-a)^2)^(2^n)=(1-a)^(2^(2n+1))

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g(x)=x^4-7*x^2+10

on pose x^2=y ==> g(x)=y^2-7*y+10 ce polynôme admet deux racines y=2 et y =5 ==> g(x)=(y-2)*(y-5) ==> g(x)=(x^2-2)*(x^2-5)=(x+ 2)* (x- 2)* (x+ 5)* (x- 5)

.........................(- 5)........(- 2).........( 2)........(- 5)........

(x^2-2).....(+).......(0)......(-)..............(-)...............(-)......(0)........(+).

(x^2-5).....(+)..................(+)....(0)....(-)......(0).....(+).................(+).

g(x)............(+).......(0)......(-).....(0)....(+).....(0).....(-).....(0)........(+)

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f(x)=(x^3+10*x)/(x^2+1) ==> f(-x)=-f(x) ==> fonction impaire symétrique par rapport à l’origine. On peut donc l’étudier sur [0; :infini [ et dédire son tracé entre ] - :infini ]0 par symétrie.

f(x)=(x^3+10*x)/(x^2+1)=x+9*x/(x^2+1)

Lorsque x-> alors f(x) x -> et la droite y=x est asymtopte au graphe de f(x). Comme f(x)-x=0⁺ ==> le graphe de f(x) tend vers son asymtote par valeurs supérieures.

Lorsque x-> - alors f(x) x -> - et la droite y=x est asymtopte au graphe de f(x). Comme f(x)-x=0^- ==> le graphe de f(x) tend vers son asymtote par valeurs inférieures.

f’(x)=(3 x^2+10)/(x^2+1)-(2 x (x^3+10 x))/(x^2+1)^2=(x^4-7 x^2+10)/(x^2+1)^2=g(x)/(x^2+1)^2

.........................(- 5)..........(- 2).........( 2)........(- 5)........

g(x)............(+).......(0)......(-).......(0)....(+).....(0).......(-).......(0)........(+)

f(x).......crois........Max...decrois..Min....crois...Max..decrois....Min....cro

is

f’(0)=10

f(0)=0 ==> y=10*x est l’équation de la tangente en x=0

y= f(5)=5* 5/2 et y= f(5)=- 5* 5/2 sont les l’équations des tangente horizontales en x= 5/2 et x=- 5/2

A vérifier.......

[Prédatorus]

pourrais-je avoir d'autres coup de pouce pour les autres exercices ???????

[Prédatorus]

L'affichage de mon tableau a merdouillé.... Le voici donc en pièce jointe.

[Prédatorus]

Partie B :

f(x) = (x^3 + 10x)/(x² + 1)

On regarde si la fonction f(x) est paire. Si tel est le cas, ça signifie que f(x) = f(-x)

On regarde si la fonction f(x) est impaire. Si tel est le cas, ça signifie que -f(x) = f(-x)

f(-x) = ((-x)^3 - 10x)/(x² + 1) = -(x^3 + 10x)/(x² + 1) = -f(x)

Par conséquent, on s'aperçoit que la fonction f(x) est impaire. Ainsi donc, (Cf) est symétrique par rapport au point O.

On peut restreindre son étude à [0 ; + infini[ car il n'y a que le signe qui change. En clair, lorsqu'on a une fonction impaire, on en déduit l'autre partie par symétrie. On obtient les mêmes résultats (en absolu). Par exemple, si on a f(1) = 5,5 alors on a donc f-1) = -5,5.

2a) f(x) = (x^3 + 10x)/(x² + 1)

Lorsque x tend vers l'infini, on a : f(x) = (x^3 + 10x)/(x² + 1) = x*(x² + 10) /(x² + 1) ~ x

Rappel : lorsque x tend vers l'infini, (x² + 10) /(x² + 1) ~ 1

Par conséquent, f(x) tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.

2b) On vient de le démontre précédemment. Lorsque x tend vers l'infini, f(x) tend vers x. Par conséquent, la droite d'équation y = x est asymptote à Cf en + infini.

On peut aussi le prouver en vérifiant que fx)/x = 1 lorsque x tend vers l'infini :

Lorsque x tend vers l'infini, f(x)/x = (x^3 + 10x)/(x² + 1)/x = (x² +10)/(x² +1) ~ x²/x² ~ 1

2c) :

f(x) - x = (x^3 + 10x)/(x² + 1) - x = (x^3 + 10x)/(x² + 1) - x^3/(x² + 1) = (x^3 + 10x - x^3)/(x² + 1) = 10x /(x² + 1)

Sur l'intervalle [0 ; + infini[, f(x) - x est toujours positif.

Par conséquent, même si f(x) - x tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini, la courbe Cf est toujours au dessus de la droite d'équation y = x sur l'intervalle [0; +infini[.

[Prédatorus]

Partie C :

3a)

f(x) = (x^3 + 10x)/(x² + 1) = u/v

f'(x) = (u'v - uv') /v² = [(3x² + 10) * (x² + 1) - (x^3 + 10x) *2x]/(x² + 1)² = [3x^4 + 3x² + 10x² + 10 - 2x^4 - 20x²]/(x² + 1)² = [x^4 + 10 - 7x²]/(x² + 1)² = [x^4 - 7x² + 10]/(x² + 1)²

G(x) = x^4 - 7x² + 10 est défini sur R donc sur [0; + inf[.

Par conséquent, f'(x) = [x^4 - 7x² + 10]/(x² + 1)² = G(x)/(x²+1)

ATTENTION : IL Y A UNE ERREUR DANS TON TEXTE !!! C'EST f'(x) = G(x)/(x²+1) ET NON PAS f(x) = G(x)/(x²+1) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

3b) :

(x² + 1) est positif sur R donc positif sur l'intervalle [0 ; + infini[

Par conséquent, le signe de f'(x) dépend du signe G(x). Comme on a pu le voir dans la partie A, on a :

Sur [0 ; + infini[, G(x) est positive sur [0 ; Rac(2)] u [Rac(5) ; + infini[ et G(x) est négative sur [Rac2) ; Rac(5)].

Ainsi donc, comme sur [0 ; + infini[ le signe de f'(x) dépend du signe de G(x), alors f'(x) est positive sur [0 ; Rac(2)] u [Rac(5) ; + infini[ et f'(x) est négative sur [Rac2) ; Rac(5)].

3c) Voir pièce jointe

4) y = f'(a) (x-a) + f(a) = f'(0) (x-0) + f(0) = f(0) + 10*(x-0) = f(0) + 10x = 10x

Rappel : f'(0) = G(0)/(0 + 1)² = 10

Rappel : f(0) = 0

L'équation de l atangente à Cf au point d'abscisse 0 est : y = 10x

5) à toi de le faire....

[naraht]

c'est vraiment gentil à vous de l'aide que vous m'avez apporter; merci