Equa Diff Ts

[Nigel Marven]

Bonjour à tous, voilà un exercice sur les équa diff. Assez compliqué c'est pourquoi je vous demanderais de bien vouloir m'aider en détaillant les étapes les plus compliquées. J'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance

Un chariot de masse 200kg se déplace sur une voir rectiligne et horizontale.

Il est soumis à une force d'entraînement constante F de valeur 50 N.

Les forces de frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire; le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue 25 N.m^-1.s^-1.

La position du chariot est repérée par la distance x, en mètres, du point H à l'origine O du repère en fonction du temps t, exprimé en secondes.

On prendra t dans l'intervalle [0;+ [.

Les lois de Newton conduisent à l'équation différentielle du mouvement (E): 25x'+200x''=50, où

x' est la dérivée de x par rapport au temps t,

x'' est la dérivée seconde de x par rapport au temps t.

1. On note v(t) la vitesse du chariot au temps t; on rappelle que v(t)=x'(t).

Prouver que x est solution de E si et seulement si x' est solution de l'équation différentielle (F): v'=-(1/8)v+(1/4).

Résoudre l'équation différentielle (F).

2. On suppose que, à l'instant t=0, on a x(0)=0 et x'(0)=0.

2.a. Calculer, pour tout nombre réel t positif, x'(t).

2.b. En déduire que l'on a, pour tout nombre réel t positif, x(t)=2t-16+16e^(-t/8).

3. Calculer V= lim quand t tend vers + de v(t).

Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V?

4. Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes?

On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

[Barbidoux]

Bonjour à tous, voilà un exercice sur les équa diff. Assez compliqué c'est pourquoi je vous demanderais de bien vouloir m'aider en détaillant les étapes les plus compliquées. J'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance

Un chariot de masse 200kg se déplace sur une voir rectiligne et horizontale.

Il est soumis à une force d'entraînement constante F de valeur 50 N.

Les forces de frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire; le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue 25 N.m^-1.s^-1.

La position du chariot est repérée par la distance x, en mètres, du point H à l'origine O du repère en fonction du temps t, exprimé en secondes.

On prendra t dans l'intervalle [0;+ [.

Les lois de Newton conduisent à l'équation différentielle du mouvement (E): 25x'+200x''=50, où

x' est la dérivée de x par rapport au temps t,

x'' est la dérivée seconde de x par rapport au temps t.

1. On note v(t) la vitesse du chariot au temps t; on rappelle que v(t)=x'(t).

Prouver que x est solution de E si et seulement si x' est solution de l'équation différentielle (F): v'=-(1/8)v+(1/4).

v=x' et v'=x" ==> 25x'+200x''=50 ==> x'+8*x''=2 ==> v+8*v'=2 ==> v'=-(1/8)*v+1/4

Résoudre l'équation différentielle (F).

v+8*v'=2 ==> équation sans second membre v+8*v'=0 ==> v'=-v/8 ==> solution de l'équation sans second membre v=cst*exp(-t/8) ==> solution générale de l'équation avec second membre v=cst*exp(-t/8)+2

2. On suppose que, à l'instant t=0, on a x(0)=0 et x'(0)=0.

2.a. Calculer, pour tout nombre réel t positif, x'(t).

x'(t)=v=cst*exp(-t/8)+2 la condition x'(0)=0 ==>cst=-2 ==> x'(t)=2-2*exp(-t/8)

2.b. En déduire que l'on a, pour tout nombre réel t positif, x(t)=2t-16+16e^(-t/8).

x'(t)=2-2*exp(-t/8) ==> x(t)=2*t-16*exp(-t/8)+ cst et la condition x(0)=0 ==>cst=16 ==> x(t)=2*t-16*exp(-t/8)+16

3. Calculer V= lim quand t tend vers + de v(t).

v(t)=x'(t)=2-2*exp(-t/8) ==> lim v(t) lorsque t-> = 2 m/s

Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V?

v(t)=x'(t)=2-2*exp(-t/8) 1,8 ==> 0,2-2*exp(-t/8) 0 ==> 0,2 2*exp(-t/8) ==> exp(t/8) 10 ==> t 8* ln(10)=18,42 s

4. Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

x(30)=2*30+16*exp(-30/8)=75,6 m

A vérifier.......

[Nigel Marven]

Merci beaucoup barbidoux