Dm De Math

[the rock]

salut pouriez vous m'aidé:

exercice 1:

on considere le cercle d'equation: x²+2x+y²-y =5 et un cercle (C') de centre F(4;3) et derayon 5 ,d'un repere orthonormal (O;I;J)

1)a. determiner le rayon et les coordonnées I du cercle ©

b. determiner une equaton du cercle (C')

2) calculer les coordonnées des pionts d'intersection A et B des eux cercles, le point A ayant une abscisse negative

3)a. determiner les equations des tangantes a chacun des cercles au point B

b. montrer que ses deux tangentes sont perpediculaires

exercice 2:

soit A et B deux points du plan tels que AB=5

1) soit G le barycentre des points pondérés (A;2) et (B;3), montrer que pour tout point M du plan : 2MA²+3MB²= 5MG²+2GA²+3GB²

2) a. exprimer les vecteur GA et GB en fonction u vecteur AB

b en deduire les distances GA et GB

3) en deduire que 2MA²+3MB²=5MG²+30

Merci d'avance

[the rock]

s'il vous plait pouriez vous m'aidé c'est vraiment urgent

[Barbidoux]

on considere le cercle C d'equation: x^2+2*x+y^2-y=5

rayon R1 et coordonnée du centre F1 de ce cercle :

x^2-2*x+1+y^2-y-1/4=5+1+1/4=25/4 ==>(x+1)^2+(y-1/2)^2=(5/2)^2 ==>R1=5/2 et F1{-1, 1/2}

et un cercle (C') de centre F(4;3) et de rayon 5 ,d'un repere orthonormal (O;I;J)

(x-4)^2+(y-3)^2=5^2

coordonnées des points d'intersection A et B des eux cercles, le point A ayant une abscisse negative

(x-4)^2+(y-3)^2=5^2 ==> a1=x^2-8 x+y^2-6 y=0

(x+1)^2 + (y-1/2)^2=(5/2)^2 ==> a2=x^2+2 x+y^2-y-5=0

a1-a2= 10 x+5 y-5=0 ==> y=1-2*x qui porté dans l'équation de C ou C' conduit à

5 (-1 + x^2)=0 ==> aux point d'intersection d'abscisse x=1 (==> y=1-2*x=-1) et x=-1 ==>(y=1-2*x=3}

Donc A{-1,3} et B{1,-1}

3)a. determiner les equations des tangantes a chacun des cercles au point B

La tangente au cercle de centre F1{-1,1/2} en un point B{1,-1} est perpendiculaire au rayon du cercle passant par ce point.

==> F1B{2,-3/2} coefficient directeur -3/4 donc la tangente au point B a pour coefficient directeur 4/3 et son équation s'écrit y=(4/3)*x+b où la valeur de b est déterminée en écrivant qu'elle passe par le point B soit -1=4/3+b ==> b=-7/3 et y=(4/3)*x-7/3

De même la tangente au cercle de centre F{4,3} en un point B{1,-1} est perpendiculaire au rayon du cercle passant par ce point.

==> FB{-3,-4} coefficient directeur 4/3 donc la tangente au point B a pour coefficient directeur -3/4 et son équation s'écrit y=-(3/4)*x+b où la valeur de b est déterminée en écrivant qu'elle passe par le point B soit -1=-3/4+b ==> b=-1/4 et y=-(3/4)*x-1/4

b. montrer que ses deux tangentes sont perpendiculaires

Le produit des coefficients directeurs des deux tangentes (4/3)*(-3/4) vaut -1 les deux tangentes sont donc perpendiculaires

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exercice 2:

soit A et B deux points du plan tels que AB=5

1) soit G le barycentre des points pondérés (A;2) et (B;3), ==>2*GA+3*GB=0 montrer que pour tout point M du plan : 2MA²+3MB²= 5MG²+2GA²+3GB²

MA=MG+GA==> MA^2=MG^2+GA^2+2*MG.GA

MB=MG+GB==> MB^2=MG^2+GB^2+2*MG.GB

2*MA^2+3*MB^2=2*MG^2+2*GA^2+4*MG.GA+3*MG^2+3*GB^2+6*MG.GB

2*MA^2+3*MB^2=5*MG^2+2*GA^2+3*GB^2+2*MG*(2*GA+3*GB)=5*MG^2+2*GA^2+3*GB^2

2) a. exprimer les vecteur GA et GB en fonction u vecteur AB

b en deduire les distances GA et GB

2*GA+3*GB=0 ==> 2*GA+3*(GA+AB)=0 ==> 5*GA+3*AB=0 ==> GA=-3*AB/5=-3

2*GA+3*GB=0 ==> 2*GB+2*BA+3*GB=0 ==> 5*GB=-2*BA=2*AB ==> GB=2*AB/5=2

3) en deduire que 2MA²+3MB²=5MG²+30

2*MA^2+3*MB^2=5*MG^2+2*GA^2+3*GB^2=5*MG^2+2*(-3)^2+3*(2)^2=5*MG^2+30

[the rock]

merci