Exo étude De Fonction.

[domiyoji]

Bonjour à tous!!

Sur la feuille annexe,on a représenté la courbe © de la fonction f définie sur ]0;+infini[ par f(x)= (3/x)-1 dans un repère orthonormal (0,i,j).

Partie A: Etude de la fonction f.

1) Determiner la limite de f en 0 et en + .Préciser les équations des asymptotes à ©.

2) Determiner le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation complet.

3) Placer,sur la feuille annexe,les points A et B de © d'abscisses respectives 1et 3,puis déterminer une équation de la droite (AB).

4) Soit M un point quelconque de © d'abscisse x.La parallèle à l'axe des ordonnées et passant par M coupe la droite (AB) en un point N.On note

alors P le milieu de [MN].

Determiner les coordonnées de M et vérifier que N (x;-x+3)

et P[x;(3+2x-x²)/2x]

Partie B: Le but de cette partie est d'étudier l'ensemble T des points P lorsque le point M décrit la courbe ©.

On pose alors g la fonction définie sur ]0;+infini[ par g(x) =(3+2x-x²)/2x et T sa représentation graphique.

1) a. Determiner la limite de g en 0 et en + infini.

b. En déduire que T admet une asymptote dont on précisera une équation.

c. Démontrer que la droite D d'équation y= -(1x/2)+1 est une asymptote à T.

2) Calculer g'(x) puis établir le tableau de variation de g.

3) Etudier la position relative de la courbe © par rapport à la courbe T.

4) Tracer T en vert et ses asymptotes.

[Barbidoux]

Sur la feuille annexe,on a représenté la courbe C de la fonction f définie sur ]0;+infini[ par f(x)= (3/x)-1 dans un repère orthonormal (0,i,j).

Partie A: Etude de la fonction f.

1) Determiner la limite de f en 0 et en + .Préciser les équations des asymptotes à C.

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f(x)= (3/x)-1

Lorsque x-> f(x) -> -1 et y=-1 est une asymptote de f(x)

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2) Determiner le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation complet.

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f’(x)=-1/x^2 >0 sur ]0, :infini [ ==> fonction decroissante sur l’intervalle de définition

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3) Placer,sur la feuille annexe,les points A et B de © d'abscisses respectives 1et 3,puis déterminer une équation de la droite (AB).

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A{1,2} et B{3,0} La droite AB a pour équation y=a*x+b. Elle passe par A ==> 2=a+b. Elle passe par B ==> 3*a+b=0 ==> b=-3*a ==> 2=-2*a ==>a=-1 et b=3 ==> y=-x+3

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4) Soit M un point quelconque de C d'abscisse x. La parallèle à l'axe des ordonnées et passant par M coupe la droite (AB) en un point N. On note alors P le milieu de [MN].

Determiner les coordonnées de M

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M{x, 3/x-1} et N d’abscise x appartient à AB ==> N{x, y}==> N{x,-x+3}

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et vérifier que N (x;-x+3) et P[x;(3+2x-x^2)/2x]

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P est le milieu de MN ==> P{(x+x)/2; (-x+3+3/x-1)/2} ==>P{x; (-x+2+3/x)/2} ==> P{x ; (-x^2+3*x+3)/(2*x)}

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Partie B: Le but de cette partie est d'étudier l'ensemble T des points P lorsque le point M décrit la courbe C.

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On pose alors g la fonction définie sur ]0;+infini[ par g(x) =(3+2x-x^2)/(2x)et T sa représentation graphique.

1) a. Determiner la limite de g en 0 et en + infini.

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g(x) =(3+2x-x^2)/(2x)=-x/2+1+3/(2*x)

Lorsque x-> 0 alors g(x)-> 3/0= :inifini:

Lorsque x-> alors g(x)- =-x/2+1 +0^⁺-> - et y=-x/2+1 est une asymptote de g(x) et comme g(x) =-x/2+1 +0^⁺, g(x) tend vers son asymtote par valeurs supérieures

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b. En déduire que T admet une asymptote dont on précisera une équation.

c. Démontrer que la droite D d'équation y= -(1x/2)+1 est une asymptote à T.

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Voir ci dessus

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2) Calculer g'(x) puis établir le tableau de variation de g.

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g(x) =-x/2+1+3/(2*x)

g’(x)=-1/2-3/(2*x)^2 <0 sur son intervalle de défnition ==> g(x) est une fonction décroissante

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3) Etudier la position relative de la courbe © par rapport à la courbe T.

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f(x)-g(x)=3/x - 1 - (-x/2+1+3/(2*x))=(1/2)*(-4 + 3/x + x)=(1/2)*(x^2-4 *x+ 3)/x

Le polynôme x^2-4 *x+ 3 a deux racine x=1 et x=3 et est du singne de x^2 à l’extérieur de ses racines. Comme x>0 ==> f(x)-g(x) >0 (le graphe de f(x) au dessus de celui de g(x)) pour x appartenant à ]0,1[ et ]3 [ et f(x) > g(x)

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4) Tracer T en vert et ses asymptotes.

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A vérifier....