Dm De Math : ......

[m@thil2]

EXERCICE 1 :

PARTIE A :

Soit le fonction définie sur ]0;+linfini[ par g(x)=-x+xlnx

1. résoudre dans ]0;+linfini[ l'équation g(x)=0

2. résoudre dans ]0;+linfini[ l'inéquation g(x) >0

PARTIE B :

Soit f le fonction définie sur]0;+linfini[ par : f(x)=(-3/4x)x^2 + 1/2x^2 *lnx

On appelle T sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 2cm.

1. Déterminer les limites de f en 0 et en +linfini

2. Montrer que l'on a f'(x)=g(x) . Etablir le tableau de variations de f.

3. Calculer f(e(3/2)).

4. Soit A le point d'abscisse 1 de T . Determiner une équation de la tangente à T en A.

5. a) recopier et completer le tableau de valeurs ci-dessous ( arrondir à 10^-2) : x 0.5 1 2 2.5 e 3 4 5 6

f(x) ... .. .. .... .... ... ... ... ...

b) Tracer dans le repère T

6. Soit f la fonction définie sur ]0;+linfini[ par : F(x)= 1/6x^3 ln(x) -11/36x^3

[Barbidoux]

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Partie A

1---------------------------

g(x)==-x+x*lnx=x*(ln(x)-1)=0 ==> x=0 et x=exp(1)

2---------------------------

....................(0)....................exp(1).....................

x...................(0).....(+)...........................(+)........

(ln(x)-1)..................(-)...........(0)............(+)..........

g(x)...............(0)......(-)..........(0).............(+)..........

solution g(x)>0 pour x> exp(1)

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Partie B

1---------------------------

Le fonction n’est pas la bonne en fait f(x)=-3*x^2/4+x^2*ln(x)/2

2---------------------------

x->0⁺ ==> f(x)=-0^(+)+x^2*ln(x)/2 et comme lorsque x->0 lim x*ln(x) ->0 ==> f(x) ->0

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x-> ==> f(x)=-3*x^2/4+x^2*ln(x)/2=x^2*(ln(x)/2-3/4)

x^2*ln(x)/2 ->

3---------------------------

f’(x)=-3*x/2+x*ln(x)+x/2=-x+x*ln(x)=g(x)

4---------------------------

....................(0)....................exp(1).....................

g(x)...............(0)......(-)..........(0).............(+)..........

f(x).....................decrois........Min....croiss........

5---------------------------

Expression de la tangente au graphe d’une fonction f(x) au point d’abscisse a ==> y=f(a)*(x-a)+f(a) ==> y=-x+1+-3/4=-x+1/4