Suite Récurrence Affine

[Jeand]

on considère f(x)=1/2x+3 et U0=-5 et U(n+1)=f(Un)

Puis Vn=Un-6

1) Vn est elle géométrique? Démontrer

2) Exprimer Vn et Un en fonction de n

5) Justifier par une démonstration rigoureuse que Un soit croissante et de limite 6

Voilà jai mis les questions que je narrive pas avec les données trouver précédement merci de bien vouloir m'aider

[Jeand]

quelqu'un peut il m'aider?

[menaoui]

j'ai trouver Vn= Vn/2 mais je fais quoi après? merci

[Jeand]

donc Vn+1 = Un+1 -6 c'est ça???

[Jeand]

Vn+1 = 1/2 Un

donc Vn=V0*(1/2)^n mais V0 vaut combien?

Un=V0(1/2)^n +6 car Un=Vn+6

et par contre pour démontrer que Un est croissant et sa limite =6 je trouve pas

[Barbidoux]

D’une manière générale v_n=u_n-6

u₀=-5 ==> v₀=-11

u₁=u₀/2+3 ==> v₁=u₁-6=u₀/2-3 ==> 2*v₁=v₀

u₂=u₁/2+3........v₂=u₂-6=u₁/2-3 ==> 2*v₂=v₁

.................

u_2n=u_n-1/2+3........v_n=u_n-6=u_n-1/2-3 ==> 2*v_n=v_n-1

On en déduit que v_n=v_n-1/2 et v_n est une suite géométrique de raison 1/2. Comme v₀=-11 ==> v_n=-11*(1/2)ⁿ= -11/2ⁿ

De la relation v_n=u_n-6 on déduit

-11/2ⁿ=u_n-6 ==>u_n=6-11/2ⁿ

Lorsque n-> 1/2ⁿ->0 et u_n=6-11/2ⁿ -> 6

[Jeand]

merci beaucoup mais pourquoi mettez vous V0=2*V1 je vois pas d'ou sort le 2?

et pourriez vous me donner une piste pour démontrer qu'elle est croissante

[Tom Veil]

merci beaucoup mais pourquoi mettez vous V0=2*V1 je vois pas d'ou sort le 2?

et pourriez vous me donner une piste pour démontrer qu'elle est croissante

[Jeand]

ok merci beaucoup

[Barbidoux]

u_n=6-11/2ⁿ

u_n+1=6-11/2ⁿ⁺¹ comme 1/2ⁿ⁺¹< 1/2ⁿ ==>

-1/2ⁿ⁺¹>- 1/2ⁿ ==>6-1/2ⁿ⁺¹>6- 1/2ⁿ ==>u_n+1>u_n et u_n est une suite croissante

[Jeand]

merci beaucoup pour votre aide