Dm 1ere S

[bibioule]

Bonjour!Je suis en diffilcuté sur cet exercice!Merci d'avance!

Dans le plan P,on considere un triangle ABC isocele en A de hauteur [AH] telle que AH=BC=4.

1)Que représente le point H pour [bC].Justifier

2)Sur la figure,construire G barycentre de {(A;2);(B;1);(C;1)}

3)Soit M un point quelconque du plan.Montrer que le vecteur V = 2MA - MB - MC est un vecteur dont la norme est 8.

4)Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que: ll 2MA + MB +MC ll = ll V ll

5)On considere le systeme de points pondérés {(A;2);(B;n);(C;n)} ou n est un entier naturel fixé

a)Montrer que le barycentre G_n de ce systeme existe pour tout entier naturel n.

b)Placer les point G₀,G₁,G₂.

c)Montrer que pour tout entier naturel n,G_n appartient a [AH]

d)Soit I_n l'ensemble des points M du plan tels que ll 2MA + nMB + nMC ll =n ll V ll

Montrer que In est un cercle dont on precisera le centre de rayon

e)Montrer que le point A appartient à I_n.En déduire la distance AG_n en fonction de n.

6)Soit f la fonction definie sur [0;+oo[ par f(x)= 4x/x+1

a)Montrer que f est strictement positive et strictement croissante sur [0;+oo[

b)Montrer que f(x)<4 sur [0;+oo[

c)Compléter le tableau de valeur suivant:

x 10 100 1000 10000

f(x)

Que peut-on supposer sur la distance AG_n et donc sur le comportement de G_n quand n tend vers l'infini?

Merci d'avance!

[Barbidoux]

--------------------------

Dans le plan P,on considère un triangle ABC isocèle en A de hauteur [AH] telle que AH=BC=4.

1)Que représente le point H pour [bC]Justifier

-----------------------------------

H est le milieu de BC (triangle isocèle en A) HB+HC=0

-----------------------------------

2)Sur la figure,construire G barycentre de {(A;2);(B;1);(C;1)}

-----------------------------------

2*GA+GB+GC=0 ==>2*GA+GH+HB+GH+HC=0 ==> 2*GA+2*GH=0

==> ||GH||=2

-----------------------------------

3)Soit M un point quelconque du plan. Montrer que le vecteur V = 2MA - MB - MC est un vecteur dont la norme est 8.

-----------------------------------

V =2*MA-MB-MC=2*(MG+GA)-(MG+GB)-(MG+GC)=2*GA-GB-GC=2*GA+GB+GC-2*GB-2*GC=-2*(GB+GC)=-2*(GH+HB+GH+HC)=-4*GH ==> ||V||=4*||GH||=8

-----------------------------------

4)Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que:

ll 2*MA + MB +MC ll = ll V ll =8 = ll 2*(MG+GA)+ MG+GB +MG+GC ll

= ||4*MG||

Cercle de centre G et de rayon 2

-----------------------------------

-----------------------------------

5)On considère le système de points pondérés {(A;2);(B;n);(C;n)} ou n est un entier naturel fixé

a)Montrer que le barycentre Gn de ce système existe pour tout entier naturel n.

-----------------------------------

2*GA+n*GB+n*GC=0 existe si 2+n+n 0 ce qui est le cas lorsque n est un entier naturel

-----------------------------------

b)Placer les point G₀,G₁,G₂.

-----------------------------------

G₀ ==> G est en A

G₁ ==> G est au milieu de AH

G₂ ==> G est le centre de gravité du triangle situé au tiers de AH en partant de H

-----------------------------------

-----------------------------------

c)Montrer que pour tout entier naturel n, G_n appartient a [AH]

-----------------------------------

G_n est le barycentre de (A;2);(B;n);(C;n)

==> 2*G_nA+G_nB+G_nC=0

==> 2*G_n A+G_nH+HB+G_nH+HC=0

==> 2*G_n A+ 2*n*G_nH =0

==> G_n appartient a [AH]

-----------------------------------

d)Soit In l'ensemble des points M du plan tels que ll 2MA + nMB + nMC ll =n ll V ll

Montrer que In est un cercle dont on précisera le centre de rayon

-----------------------------------

ll 2*MA + n*MB + n*MC ll =n ll V ll=8*n ==>

ll2*(MG_n+G_nA)+ n*(MG_n+G_nB) + n*(MG_n+G_nC) ll =8*n

==> ll2*MG_n+ 2*n*MG_n ll =8*n

==> ll 2*MG_n+ 2*n*MG_n ll =8*n

==> (2+2*n)*ll MG_n ll =8*n

==>ll MG_n ll=4*n/(1+n)

Cercle de centre G_n et de rayon 4*n/(1+n)

-----------------------------------

e)Montrer que le point A appartient à In.En déduire la distance AGn en fonction de n.

-----------------------------------

2*G_nA+ 2*n*G_nH =0

==>2*G_nA+ 2*n*(G_nA+AH) =0

==>2*G_nA+ 2*n*G_nA+2*n*AH=0

==>(1+n)*G_nA=n*HA

==>G_nA=n*HA/ (1+n)

et comme ll HA ll = 4 ==> ll G_nA ll=4*n/ (1+n) et A appartient à In.

-----------------------------------

6)Soit f la fonction définie sur [0;+oo[ par f(x)= 4x/x+1 Attention aux notations (parenthèses manquantes) et f(x)= 4*x/(x+1)

a)Montrer que f est strictement positive et strictement croissante sur [0;+oo[

b)Montrer que f(x)<4 sur [0;+oo[

-----------------------------------

f’(x)=4/(1+x)^2 >0 et f(0)=0 ==> f(x) est strictement positive et strictement croissante sur [0;+oo[

-----------------------------------

c)Compléter le tableau de valeur suivant:

x.............10 ...........100........... 1000 ..........10000

f(x).........4,444........4,040.........4,004..........4,000

Que peut-on supposer sur la distance AGn et donc sur le comportement de Gn quand n tend vers l'infini?

Lorsque n-> ll G_nA ll=4*n/ (1+n) -> 4 et G tend vers H

A vérifier.......

[bibioule]

Merci pour l'aide