Dm De Math

[the rock]

salut j'ai un dm de math et je bloque sur un exerce pouriez vous m'aide :

exercice :

1) calculer la valeur exacte des deux sommes A et B definies respectivement par :

A= cos ( /8) + cos(3 /8) + cos (5 /8) +cos (7 /8)

B= sin ( /8) +sin (3 /8) + sin (11 /8) +sin (15 /8)

2) montrer que : cos (a+b) sin (a-b) =sin a cos a - sin b cos b

3) on considere les deux reels C et D definis respectivement par:

C=cos²( /8) + cos² (3 /8) +cos²(5 /8)+ cos²(7 /8) et

D=sin²( /8) + sin²(3 /8) + sin² (5 /8) +sin²(7 /8)

3)a) calculer C-D et C+D

b)en deduire C et D

merci d'avance

[Barbidoux]

A= cos (Pi/8) + cos(3*Pi /8) + cos (5*Pi /8) +cos (7 *Pi/8)

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cos (Pi/8)+cos (7 *Pi/8)=2*cos(Pi/2)*cos(3*Pi/8)=0

cos(3*Pi /8)+cos (5*Pi /8)=2*cos(Pi/2)*cos(Pi/8)=0

A=0

---------------------------

B= sin (Pi/8) +sin (3 *Pi/8) + sin (11 *Pi/8) +sin (15 *Pi/8)

---------------------------

sin (Pi/8) +sin (15 *Pi/8)=2*sin(Pi)*cos(7*Pi/8)=0

sin (3 *Pi/8) + sin (11 *Pi/8)=2*sin(7*Pi/8)*cos (Pi/2)=0

---------------------------

2) montrer que : cos (a+b) sin (a-b) =sin a cos a - sin b cos b

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cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)

sin(a-b)=cos(b)*sin(a)-cos(a)*sin(b)

cos(a+b)*sin(a-b)=(cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b))*(cos(b)*sin(a)-cos(a)*sin(b))

=cos(a)*cos(b)^2*sin(a) - cos(a)^2*cos(b)*Sin(b) -

cos(b)*sin(a)^2*sin(b) + cos(a)*sin(a)*sin(b)^2

=cos(a)*sin(a) *(cos(b)^2+sin(b)^2)-cos(b)*Sin(b)*(cos(a)^2+sin(a)^2)

=cos(a)*sin(a) -cos(b)*Sin(b)

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3) on considere les deux reels C et D definis respectivement par:

C=cos (Pi/8)^2 + cos(3*Pi /8)^2 + cos(5*Pi /8)^2 +cos(7 *Pi/8)^2

D=sin(Pi/8)^2 +sin(3*Pi /8)^2 + sin(5*Pi /8)^2 +sin(7 *Pi/8)^2

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C+D=cos (Pi/8)^2 +sin(Pi/8)^2 +cos(3*Pi /8)^2 +sin(3*Pi /8)^2 + cos(5*Pi /8)^2 + sin(5*Pi /8)^2 +cos(7 *Pi/8)^2+sin(7 *Pi/8)^2

C+D=4

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C-D=cos(Pi/8)^2 -sin(Pi/8)^2 +cos(3*Pi /8)^2 -sin(3*Pi /8)^2 + cos(5*Pi /8)^2 - sin(5*Pi /8)^2 -cos(7 *Pi/8)^2+sin(7 *Pi/8)^2

comme (voir calculs de A et B au début)

cos(Pi/8)^2+cos(7*Pi/8)^2=(cos(Pi/8)+cos(7*Pi/8))*(cos(Pi/8)-cos(7*Pi/8))=0

on fait de même pour les autres couples en cos ou sin

==> C-D=0

==> C=D ==> 2*C=4 ==C=2 et D=2

A vérifier........