Exercice Sur Les Complexes

[m4rin3]

Bonjour à tous. J'aurai besoin d'aide sur l'exercice suivant:

Pour tout point M de coordonnées (x;y), on désigne par z=x+iy son affixe. On note A et B les points d'affixes respectives i et -2i. Soit f l'application qui, à tout point M d'affixe z distantct de i, associe le point M' d'affixe z' définie par : z'=(2*z-i)/(i*z+1)

1)Soit z un nombre complexe différent de 1.

a)On désigne respectivement par r et téta (ou O) le module et un arguement de z - i. Interpréter géométriquement r et téta à l'aide des points A et M.

b)Montrer que (z'+2i)(z-i)=1

c)On désigne respectivement par r' et téta' le module et un argument de z'+2i.

Exprimer r' et téta' en fonction de r et de téta. Interpréter géométriquement r' et téta' à l'aide des points B et M'.

2)Soit C le cercle de centre A et de rayon 1.

Montrer que, si M appartient à C, son image M' appartient à un cercle C' de centre B dont on donnera le rayon. Le cercle C' est-il l'image par f du cercle C?

3)Soit T le point d'affixe rac(2)/2 + (1+rac(2)/2)*i

a)Calculer l'affixe du vecteur AT; en déduire que t appartient au cercle C.

b)Déterminer une mesure de l'angle (u;AT). Tracer le cercle C et placer le point T (on prendra comme unité graphique 2cm).

c)En utilisant les questions précédents, construire l'image T' du point T par f.

Je vous remercie beaucoup à l'avance!

[Barbidoux]

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1a--------

z d’affixe z=x+i*y correspond au point M de coordonnées M{x,y}

Les coordonnées de AM sont AM{x, y-1}

||z-i ||=||AM||= (x^2+(y-1)^2) et l’argument = argument de AM = argument de z-i qui vaut teta= ArcTan((y-1)/x).

Le vecteur z-i correspond à un translation verticale du vecteur AM d’amplitude -i

1b--------

z’=(2*z-i)/(i*z+1)=-i*(2*z-i)/(i*(z-i))=-2*i+1/(z-i) ==> (z’+2*i)=1/(z-i) ==> (z’+2*i)*(z-i) =1

1c---------

z’+2*i=1/(z-i) ==> comme ||z-i ||=||AM|| ==> ||z’+2*i||=1/||AM|| et arg (1/(z-i))=-arg(z-i)=-ArcTan((y-1)/x)

Donc le vecteur z’+2*i soit BM’ est obtenu à partir de z

- par translation verticale du vecteur AM d’amplitude -i (ce qui amène A en O) ==> z-i=x+i(y-1) ==> (module =||AM|| et argument = ArcTan((y-1)/x))

- rotation d’angle -2 teta ==> x-i*(y-1) vecteur d’argument = -ArcTan((y-1)/x)) et de module ||AM||

- homotétie de centre O de rapport 1/||AM||^2 ==> 1/(z-i)=x-i*(y-1)/||AM||^2 vecteur d’argument = -ArcTan((y-1)/x)) et de module 1/||AM||

- enfin translation verticale d’amplitude -2*i ce qui conduit au vecteur BM’ d’affixe 1/(z-i) et à M’ d’affixe z’=1/(z-i)-2*i

]

2-----------------------------------

Si M appartient au cercle de centre A et de rayon 1 alors BM’ est construit de la manière précédente :

- translation verticale du vecteur AM d’amplitude -i

- rotation du vecteur AM d’amplitude 2*teta

- homotétie de centre O de rapport 1/||AM||^2=1 ==> 1/(z-i)=x-i*(y-1)/||AM||^2= x-i*(y-1)vecteur d’argument = -ArcTan((y-1)/x)) et de module 1

- enfin translation verticale d’amplitude -2*i ce qui conduit au vecteur BM’ d’affixe 1/(z-i) et à M’ d’affixe z’=1/(z-i)-2*i et M’ est sur le cercle de centre B et de rayon 1 et le cercle C' est l'image par f du cercle C.

3----------------------------------------

T a pour affixe 2/2+i* (1+ 2/2) ==> AT a pour affixe 2/2+i* 2/2 son module vaut 1 et son argument vaut Pi/4 il appartient au cercle C. On construit l’image T’ de T comme au paragraphe 2

A vérifier........

[m4rin3]

oki d'accord! je vais vérifier!

merci beaucoup !!!

[m4rin3]

Qu'est ce que "arctan"? je n'ai pas vu ça en cours.

[Barbidoux]

Qu'est ce que "arctan"? je n'ai pas vu ça en cours.