Exo Sur Les Complexes

[nasridu62]

slt a tous et bonne année. Voila j'ai un exo sur les complexe a faire mais je n'arrive pas a le finir donc si quelqu'un pourrait m'aider sa serait sympa. Voila le sujet:

Partie A:

1°)Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation: z^2 -2z +4 = 0. Les solutions seront notées z' et z", z' designant la solution dont la partie imaginaire est positive. Donner les solutions sous forme algebrique puis sous forme exponentielle.

2°) Donner la valeur exacte de (z')²⁰⁰⁴ sous forme exponentielle puis sous forme algebrique.

Partie B:

Le plan complexe est muni d'un repere orthonormal direct (O, u, v) ; (unite graphique: 2cm).

1°) Montrer que les points A d'affixe 1+ 3 et B d'affixe 1- 3 sont sur un meme cercle de centre O dont on precisera le rayon.

2°) On note O' l'image du point O par la rotation r₁ de centre A et d'angle - /2 et B' l'image du point B par la rotation r₂ de centre A et d'angle + /2. Calculer les affixes des points O' et B' .

3°) Soit I le milieu du segment [OB].

a°) Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO'B'?

b°) Calculer l'affixe du vecteur AI. Montrer que l'affix du vecteur O'B' est égale à 3 3-i.

c°) La conjecture émise à la question a°) est-elle vraie?

Voila donc merci d'avance pour ceux qui m'aideront.

[nasridu62]

c assez urgent svp

[valbuenadu62]

slt je suis dans la meme classe est jdoi l'avouer je n'y arrive pas du tout aidé nous svp

[Barbidoux]

Voilà pour le premier

A-----------------

z^2-2*z+4=0 ==> = -12 =12*i^2 ==> z’=1+ i* 3 et z”=1- i* 3 ==> ||z’||=||z”||= (1+3)=2

z’=1+ 1* 3=2*(1/2+i* 3/2)=2*(Cos(Pi/3)+i*Sin(Pi/3))=2*exp(i*Pi/3)

z”=1- 1* 3=2*(1/2-i* 3/2)=2*(Cos(Pi/3)-i*Sin(Pi/3))=2*exp(i*Pi/3)

(z’)^2004=2^(2004)*exp(i*Pi/3)^(2004)

=2^(2004)*exp(i*2004*Pi/3)=2^(2004)*exp(i*2004*Pi/3)

=2^(2004)*exp(i*334*2*Pi)=2^(2004)*(Cos(334*2*Pi)+i*Sin(334*2*Pi))

=2^(2004)*(Cos(2*Pi)+i*Sin(2*Pi))=2^(2004)

La suite à venir......

[Barbidoux]

Voilà la fin ....

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B-------------------------

Le poit A est d’affixe :

z_A=1+ i* 3 ==> ||z_A||=2 ==> z_A=2*(1/2+i* 3/2)=2*(cos(Pi/3)+i*Sin(Pi/3))

z_B=1- i* 3 ==> ||z_A||=2 ==> z_B=2*(1/2-i* 3/2)=2*(cos(Pi/3)-i*Sin(Pi/3))

A et B se trouvent sur un cercel de rayon 2 et cde centre O

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OAO’ est isocèle rectangle ==> AOO’=Pi/4 ==> OO’= (4+4)=2* 2 ==> z_O’=2* 2 *(Cos(Pi/3+Pi/4)+i*Sin(Pi/3+Pi/4)=2* 2 *(Cos(7*Pi/12)+i*Sin(7*Pi/12)= (1- 3)+i*(1+ :sqrt:3)

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La rotation de centre a de Pi/2 de AB est équivalent à une transaltion de A de module AB cf (figure)

AB= 2* 3 ==> z_B’=1+2* :sqrt:3 +i* 3

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la droite AI est perpendiculaire à O’BB’ c’est la hauteur de ce triangle

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Coordonnées de I{ 1/2, - 3/2}

Coordonnées de A{ 1, 3/2}

Coordonnées de AI {-1/2, -3* 3/2}

Coordonnées de O’{(1- 3); (1+ :sqrt:3)}

Coordonnées de B’{1+2* :sqrt:3 ; 3}

Coordonnées de O’B’{3* :sqrt:3 ; -i}

Conjecture vraie car

Coordonnées de AI {-1/2, -3* 3/2} ==> coefficient directeur = 3* 3

Coordonnées de O’B’{3* :sqrt:3 ; -i} ==> coefficient directeur = -1/(3* 3)

Le produit des coefficient directeurs de AI et OB’= -1 ==> vecteurs perpendiculaires.

A vérifier........