Dm Tangente, Expo (ts)

[Nigel Marven]

Bonjour à tous. Bon je sais qu'on approche des fêtes mais je voulais vous demander un petit service. Cet exercice complexe. Si quelqu'un aurait la gentilesse de m'apporter son aide en détaillant ses réponses, ce serait très gentil. Je vous expose donc mon exercice et je vous remercie d'avance: Merci!!!!

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O,i,j); unité graphique 2 cm.

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie sur R par: fn(x)=e^x/(e^nx(1+e^x))

On désigne par (Cn) la courbe représentative de fn dans le repère (O,i,j).

On considère d'abord la fonction f0 définie sur R par f0(x)=e^x/(1+e^x)

1.a. Déterminer la limite de f0(x) quand x tend vers - . Interpréter graphiquement votre résultat.

1.b. Déterminer la limite de f0(x) quand x tend vers + . Interpréter graphiquement votre résultat.

2. Montrer que le point K (0;(1/2)) est un centre de symétrie de (C0).

3. Etudier les variations de f0.

4.a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C0) au point K.

4.b. Justifier que, pour étudier la position de la tangente (T) par rapport à la courbe (C0), il suffit d'étudier sur R le signe de g(x), où g(x)= 2e^x - xe^x - 2 - x.

4.c. Calculer g'(x) et g''(x).

4.d. Déterminer, en les justifiant, les signes de g''(x), g'(x) et g(x) suivant les valeurs de x.

4.e. En déduire la position de la tangente (T) par rapport à la courbe (C0).

5. Tracer (C0) et (T) dans le repère (O,i,j).

6.a. Montrer que pour tout réel x, les points M(x;f0(x)) et M'(x;f1(x)) sont symétriques par rapport à la droite (d) d'équation y=1/2.

6.b. Comment obtient-on (C1) à partir de (C0)? Tracer (C1)

[Barbidoux]

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1.b. Déterminer la limite de f0(x) quand x tend vers + . Interpréter graphiquement votre résultat.

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f0(x)=e^x/(1+e^x)

Lorsque x-> ==> f0(x)=e^x/(1+e^x) e^x/e^x =1 et f0(x)->1 (asymptote horizontale d’équation y=1)

Lorsque x-> - ==> f0(x)=e^x/1 e^x et f0(x)->0 (asymptote horizontale d’équation y=0)

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2. Montrer que le point K (0;(1/2)) est un centre de symétrie de (C0).

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h(x)=f0(x)-1/2=e^x/(1+e^x)-1/2=(e^x-1)/(2*(1+e^x)) et

h(x)=-h(-x) ce qui montre que K{0,1/2} est le centre de symétrie de f0(x)

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3. Etudier les variations de f0.

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f0’(x)=exp(x)/(1+e^x)^2 >0 sur R fonction croissante

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4.a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C0) au point K.

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y=f’(x₀)(x-x₀)+x₀ est

l’équation de la tangente en {x₀, y₀} au graphe de f(x) ==>

y=x/4-1/2=(x+2)/4

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4.b. Justifier que, pour étudier la position de la tangente (T) par rapport à la courbe (C0), il suffit d'étudier sur R le signe de g(x), où g(x)= 2e^x - xe^x - 2 - x.

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La position de la tangente y par rapport àau graphe de f0(x) s’étudie en utlisant la fonction f0(x)-y=exp(x)/(1+e^x)-(x+2)/2 =(4*exp(x)-(1+e^x)*(x+2))/(4*(1+e^x))=(2*e^x-x*e^x-x-2)/(4*(1+e^x)). Le dénominateur de la fonction f0(x)-y étant >0 il suffit d’étudier le signe de g(x)=2*e^x-x*e^x-x-2 pour connaître celui de f0(x)-y.

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4.c. Calculer g'(x) et g''(x).

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g’(x)=-1 - exp(x)*(x-1)

g’’(x)=-exp(x)*x

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4.d. Déterminer, en les justifiant, les signes de g''(x), g'(x) et g(x) suivant les valeurs de x.

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........................................0...................................

g’’(x).........(+)...................0..................(-).............

g’(x).........croiss.............Max.........decroiss..........

Pour x=0 g’(x)=0 donc la fonction g’(x) est <0 avant 0 et après 0

g’(x)...........(-)..................0..............(-)..........

g(x).. .......decroiss....pt inflexion....decrois.....-

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4.e. En déduire la position de la tangente (T) par rapport à la courbe (C0).

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T est en dessous de C0 pour x<0 et au dessu pour x>0

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5. Tracer (C0) et (T) dans le repère (O,i,j).

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6.a. Montrer que pour tout réel x, les points M(x;f0(x)) et M'(x;f1(x)) sont symétriques par rapport à la droite (d) d'équation y=1/2.

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f0(x)=e^x/(1+e^x)

f1(x)=1/(1+e^x)

Coordonnées de I le milieu de MM’

I{x, 1/2} ==> le milieu I de MM’ se trouvant sur la droite d’équation y=1/2 celle-ci est un axe de symétrie pour la figure constituée des graphes de f0(x) et f1(x)

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6.b. Comment obtient-on (C1) à partir de (C0)? Tracer (C1)

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Par symétrie du graphe de f0(x) par rapport à la droite d’équation y=1/2

Remarque le graphe de f0(x) est tel que f0(-x)=f1(x) et l’axe y est aussi un axe de symétrie pour la figure constituée des graphes de f0(x) et f1(x)

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A vérifier.............