Nombres Complexes Dans Le Plan

[Soaddict25]

Salut à tous et à toutes

Voilà, j'ai un devoir maison de maths à faire pour le jeudi qui arrive et je bloque complètement sur un des exercices que je dois faire. Voici son énoncé :

L'unité graphique est 4 cm. On considère les points A et B d'affixe respectives 1 et 1/2 - i racine 3 / 2 (désolé de mettre racine en toute lettre mais je ne sais pas comment on fait pour faire autrement :p)

Pour chaque point M du plan complexe, d'affixe z, le point M1 d'affixe z1 est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle pi / 3, et le point M' d'affixe z' est l'image de M1 par la translation de vecteur -u.

Enfin, on note T la transformation qui, à chaque point M, associe le point M'.

1) a- Démontrer que : z' = e i pi /3 z -1

b- Déterminer l'image du point B.

c- Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l'affixe.

2) On pose z= x +iy, avec x et y deux réels.

a- Pour z non nul, calculer la partie réelle du quotient z'/z en fonction de x et y.

b- Démontrer que l'ensemble E des points M du plan tels que le triangle OMM' soit un rectangle en O est un cercle C, dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer E.

Merci d'avance pour votre aide. Je suis également à votre disposition si un problème se pose à vous.

Encore merci.

[Barbidoux]

On considère les points A et B d'affixe respectives 1 et 1/2 - i 3/2

Pour chaque point M du plan complexe, d'affixe z, le point M1 d'affixe z1 est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle pi / 3, et le point M' d'affixe z' est l'image de M1 par la translation de vecteur -u.

Enfin, on note T la transformation qui, à chaque point M, associe le point M'.

1) a- Démontrer que : z' = e i pi /3 z -1

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rotation de OM de pi/3 -> OM1 d’affixe z*exp(i*Pi/3). Translation de module -u -> M’ d’affixe z’=z*exp(i*Pi/3)-1

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b- Déterminer l'image du point B.

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affixe de B ==>1/2 - i 3/2 =exp(-i*Pi/*3) ==>

z’=exp(-i*Pi/*3)*exp(i*Pi/*3)-1=0 et l’image de B est le point O

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c- Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l'affixe.

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z’=z=z*exp(i*Pi/3)-1 ==> 1=z*(exp(i*Pi/3)-1)=z*(1/2+i 3/2-1) =z*(-1/2+i 3/2)=-z*exp(-i*Pi/*3)==> z=-exp(i*Pi/*3)=-(1/2+i 3/2)

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2) On pose z= x +i*y, avec x et y deux réels.

a- Pour z non nul, calculer la partie réelle du quotient z'/z en fonction de x et y.

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z’=z*exp(i*Pi/3)-1 =(x+i*y)*(1/2+i* 3/2)-1

z’=(x-y* 3/2)-2)/2+i*(y/2+x* 3/2)/2

Re(z’/z)= (x-y* 3/2)-2)/(2*x)

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b- Démontrer que l'ensemble E des points M du plan tels que le triangle OMM' soit un rectangle en O est un cercle C, dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer E.

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le triangle OMM’ est rectangle lorsque OM’.OM=0 ==> z’z=0

x*(x-y* 3/2)-2)/2+y*(y/2+x* 3/2)=0 ==> x^2-2*x+y^2=0 ==> x^2-2*x+1+y^2=1 ==> (x-1)^2+y^2=1 cercle de centre {1,0} et de rayon R=1 à l’exception du point O et du point tel que z’=0 soit z=0 et z=exp(-i*Pi/3) (point B)

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A vérifier.......

[Soaddict25]

Merci beaucoup encore une fois pour cette aide

A bientôt j'espère