Etude De Fonctions

[Proton]

Exercice 1 : Point d'inflexion.

L'objet de l'exercice est d'étudier à quelle condition une courbe est "traversée" par sa tangente ( un tel point d'une courbe appelé point d'inflexion).

On considère une fonction f admettant un intervalle I ouvert sur une dérivée f' et une dérivée seconde f".

Soit C la courbe représentative de f, T sa tangente en un point A(a,f(a)), où a I.

On considère la fonction définie sur I, par : (x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a).

1- Justifier que est deux fois dérivable sur I et calculer '(x) et "(x).

2- On suppose que, sur I, f" s'annule en changeant de signe en a. Déduire les variations de ', ensuite le signe de ', puis les variations de et enfin le signe de sur I.

Donner, en justifiant clairement, la position relative de C er T sur I.

Bonjour,

Je bloque sur cet exercice, j'aimerais quelques précisions..

Pour la 1ère question, je ne sais pas justifier la dérivabilité de , mais j'ai trouvé '= f'(x) - f'(a) et donc ''= f''(x) - f''(a).

Pour la question 2, je ne sais pas du tout ce qu'il faut faire...

[elp]

T la tgte au point de la courbe d'abscisse a , a pour équation:

y-f(a)=f'(a)(x-a)

y=f(a)+f'(a)(x-a)

la courbe sera au dessus de la tgte si f(x)-y=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a) est positif.

elle sera en dessous si cette différence est négative.

cette différence c'est d(x) de ton exercice.

f est 2 fois dérivable donc f' et f'' existent et on peut dc calculer d' et d''

d'(x)=f'(x)-0-f'(a)(x-0)=f'(x)-f'(a)

d''(x)=f''(x)

2)

d''(x) s'annule dc en a ,en changeant de signe dc d'(x) admet un extrémum en a

d'(a)=f'(a)-f'(a)=0

Ca veut dire que d'(x) est négatif, nul en x=a, négatif ou bien

positif, nul en x=a , positif

donc conséquences pour d:(on remarque que d(a)=0)

décroit, 0, décroit ou bien

croit, 0, croit

dc le signe de d(x) est +,0,- ou bien

-,0,+

dc

C au dessus de la tgte, coupe la tgte, en dessous de la tgte ou bien

C en dessous , coupe, au dessus ..

ds les 2 cas, la tgte traverse la courbe

(fais un tableau, style tableau de variations, ça t'aidera à comprendre)

[Proton]

Merci de la réponse, mais alors

Quelle est la règle que l'on peut déduire de l'étude concernant le signe de f" et la position relative de C et T ?

[elp]

Si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en a, alors la courbe a un point d'inflexion en son point d'abscisse a.

(la tangente traverse la courbe )

[Proton]

Ok merci.

Maintenant on me demande de refaire la même chose mais avec f(x) = x^4 + x^3 -3x²

J'ai f'(x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x

f''(x) = 12x^2 + 6x - 6

Déjà, on me demande d'étudier les variations de f, et je n'arrive pas factoriser f'... Ensuite, pour les points d'inflexions je les trouve en 1/2 et -1. Mais on me demande les tangentes en ces points, et je ne sais pas comment faire.

[Barbidoux]

f’(x)=x*(4*x^2+3*x-6) le polynôme (4*x^2+3*x-6) admet deux racines x1=(-3- 105)/8= -1,656 et x2=(-3- 105)/8=0,906 ==> f(x)=x*(x-x1)*(x-x2)

........................ x2.....................0......................x1....................

x............(-).....................(-).......(0)......(+)..................(+)...........

(x-x2).....(-)......(0)..........(+).................(+)..................(+)..........

(x-x1).....(-).....................(-)..................(-).......(0).......(+)

f’(x).........(-)......(0)..........(+).....(0).......(-)........(0).......(+)

f(x)....decrois....Min......crois......Max...decrois...Min....crois

f’’(x)=12*x^2+6*x-6 s’annule pour x=-1 et x=1/2 don c deux points d’inflexion en ces point. Les équations des tangentes en ces points sont données par y=f’(x)*(x-x0)+f(x0)

Equation de la tangente au point x=1/2 ==> y=-(7/4)*(x-1/2)-9/16=-(7/4)*x+5/16

Equation de la tangente au point x=-1==> y=5*(x+1)-3=5*x+2

Graphe de f(x) et des tangentes aux points d’inflexion