145_HL Posté(e) le 3 décembre 2008 Signaler Posté(e) le 3 décembre 2008 Bonjour à tous! j'aurais besoin d'aide pour mon DM de mathématiques qui est à rendre lundi prochain. Je suis bloquée à partir de la question 5) Si vous avez besoin des réponses des autres questions pour comprendre la 5, 6 et 7 demandez-moi. Enoncé: ABCD est un parallélogramme, J est le milieu de [AC], H vérifie: AH*=2/3AB* (les étoiles signifient que ce sont des vecteurs) Soit G le barycentre des points pondérés (A;1), (B;2) et (C;1) Soit K le barycentre des points pondérés (A;-1), (B;4) et (C;3) 1) Exprimer H comme barycentre de (A;a) et (B;b) 2) En déduire l'ensemble des ponts M tes que ||MA*+2MB*||=3/2||MA*+MC|| Construire cet ensemble 3) Démontrer que GB*+GJ*=0* 4) Démontrer que G est le point d'intersection des droites (BJ) et (HC) 5) Construire K 6) Exprimer D comme barycentre de (A;x) (B;y) (C;z) 7) a) Démontrer que GA*+2GB*+GC=2(GA*-GB*-GC*) + 6GK* b) En déduire que G,K et D sont alignés, vérifier sur la figure.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 3 décembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 décembre 2008 Les relations lient des vecteurs -------------------------------- ABCD est un parallélogramme, J est le milieu de [AC], H vérifie: AH=(2/3)*AB Soit G le barycentre des points pondérés (A;1), (B;2) et (C;1) ------------------------------ GA+2*GB+GC=0 ------------------------------- Soit K le barycentre des points pondérés (A;-1), (B;4) et (C;3) ------------------------------ -KA+4*KB+3*KC=0 ------------------------------- 1) Exprimer H comme barycentre de (A;a) et (B;b) ------------------------------ 3*AH-2*AB=0 A est le barycentre de (H,3) (B,-2) ------------------------------- 2) En déduire l'ensemble des ponts M tes que ||MA+2MB||=3/2||MA+MC|| ------------------------------ 2*||MA+2*MB||=3*||MA+MC|| 3*AH-2*AB=0 ==> 3*AM+3*MH-2*AM-2*MB=0 ==> AM+2*BM+3*MH=0 2*||MA+2MB+AM+2*BM+3*MH||=3*||MJ+JA+MJ+JC|| 2*||3*MH||=3*||2*MJ|| ==> ||MH||=||MJ|| et M est sur la médiatrice de HJ ------------------------------- Construire cet ensemble 3) Démontrer que GB+GJ=0* ------------------------------ GA+2*GB+GC=0 ==> GA+2*GB+GA+AC=0 ==> 2*GA+2*GB+AC=0 ==> 2*GA+2*GB+2*AJ=0 ==> 2*GB+2*GJ=0 ==>GB+GJ=0 ==> G, B et J sont alignés ------------------------------- 4) Démontrer que G est le point d'intersection des droites (BJ) et (HC) ------------------------------ GA+2*GB+GC=0 ==>GH+HA+2*GH+2*HB+GC=0 ==> comme HA+2*HB=0 ==> 3*GH+HC=0 et G, H et C sont alignés et G est le point d'intersection des droites (BJ) et (HC) ------------------------------- 5) Construire K 6) Exprimer D comme barycentre de (A;x) (B;y) (C;z) ------------------------------ J est le milieu AC est aussi le milieu de DB car les diagonales d’un paralèlogramme se coupent en leur milieu. J est l’isobarycentre de A, B, C et D ==> JA+JB+JC+JD=0 ==>JD+DA+JD+DB+JD+DC+JD=0 ==> 4*JD+ DA+DB+DC=0 ==> 2*BD+ DA+DB+DC=0 ==> DA-DB+DC=0 et D est le barycentre de (A,1) (B,-1) et (C,1) ------------------------------- 7) a) Démontrer que GA+2GB+GC=2(GA-GB-GC) + 6GK* ------------------------------ -KA+4*KB+3*KC=0 ==>-KG-GA+4*KG+4*GB+3*KG+3*GC=0 ==> -6*KG-GA+4*GB+3*GC=0 ==>6*KG+GA-4*GB-3*GC=0 or GA+2*GB+GC=0 ==> GA+2*GB+GC=6*KG+GA-4*GB-3*GC GA+2*GB+GC =6*KG+2*GA-2*GB-2*GC=6*KG+2*(GA-GB-GC)=0 ------------------------------- b) En déduire que G,K et D sont alignés, vérifier sur la figure. DA-DB+DC=0 ==>DA+BD+CD=0 ==> AD-BD-CD=0 ==>6*KG+2*(GA-GB-GC+AD-BD-CD)=6*KG+2*(GA+AD-(GB+BD)-(GC+CD)=6*KG-2*GD=0 ce qui entraîne que G,K et D sont alignés A verifier.......
145_HL Posté(e) le 4 décembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 4 décembre 2008 Les relations lient des vecteurs -------------------------------- ABCD est un parallélogramme, J est le milieu de [AC], H vérifie: AH=(2/3)*AB Soit G le barycentre des points pondérés (A;1), (B;2) et (C;1) ------------------------------ GA+2*GB+GC=0 ------------------------------- Soit K le barycentre des points pondérés (A;-1), (B;4) et (C;3) ------------------------------ -KA+4*KB+3*KC=0 ------------------------------- 1) Exprimer H comme barycentre de (A;a) et (B;b) ------------------------------ 3*AH-2*AB=0 A est le barycentre de (H,3) (B,-2) ------------------------------- 2) En déduire l'ensemble des ponts M tes que ||MA+2MB||=3/2||MA+MC|| ------------------------------ 2*||MA+2*MB||=3*||MA+MC|| 3*AH-2*AB=0 ==> 3*AM+3*MH-2*AM-2*MB=0 ==> AM+2*BM+3*MH=0 2*||MA+2MB+AM+2*BM+3*MH||=3*||MJ+JA+MJ+JC|| 2*||3*MH||=3*||2*MJ|| ==> ||MH||=||MJ|| et M est sur la médiatrice de HJ ------------------------------- Construire cet ensemble 3) Démontrer que GB+GJ=0* ------------------------------ GA+2*GB+GC=0 ==> GA+2*GB+GA+AC=0 ==> 2*GA+2*GB+AC=0 ==> 2*GA+2*GB+2*AJ=0 ==> 2*GB+2*GJ=0 ==>GB+GJ=0 ==> G, B et J sont alignés ------------------------------- 4) Démontrer que G est le point d'intersection des droites (BJ) et (HC) ------------------------------ GA+2*GB+GC=0 ==>GH+HA+2*GH+2*HB+GC=0 ==> comme HA+2*HB=0 ==> 3*GH+HC=0 et G, H et C sont alignés et G est le point d'intersection des droites (BJ) et (HC) ------------------------------- 5) Construire K 6) Exprimer D comme barycentre de (A;x) (B;y) (C;z) ------------------------------ J est le milieu AC est aussi le milieu de DB car les diagonales d'un paralèlogramme se coupent en leur milieu. J est l'isobarycentre de A, B, C et D ==> JA+JB+JC+JD=0 ==>JD+DA+JD+DB+JD+DC+JD=0 ==> 4*JD+ DA+DB+DC=0 ==> 2*BD+ DA+DB+DC=0 ==> DA-DB+DC=0 et D est le barycentre de (A,1) (B,-1) et (C,1) ------------------------------- 7) a) Démontrer que GA+2GB+GC=2(GA-GB-GC) + 6GK* ------------------------------ -KA+4*KB+3*KC=0 ==>-KG-GA+4*KG+4*GB+3*KG+3*GC=0 ==> -6*KG-GA+4*GB+3*GC=0 ==>6*KG+GA-4*GB-3*GC=0 or GA+2*GB+GC=0 ==> GA+2*GB+GC=6*KG+GA-4*GB-3*GC GA+2*GB+GC =6*KG+2*GA-2*GB-2*GC=6*KG+2*(GA-GB-GC)=0 ------------------------------- b) En déduire que G,K et D sont alignés, vérifier sur la figure. DA-DB+DC=0 ==>DA+BD+CD=0 ==> AD-BD-CD=0 ==>6*KG+2*(GA-GB-GC+AD-BD-CD)=6*KG+2*(GA+AD-(GB+BD)-(GC+CD)=6*KG-2*GD=0 ce qui entraîne que G,K et D sont alignés A verifier.......
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 4 décembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 4 décembre 2008 Aïe, je me suis apercu que je me suis trompée dans l'énoncé, c'est le parallélogramme ABDC et non ABCD, ce qui change les résultats... Je ne comprends pas comment vous faites à la question 7)a) pour passer de cette étape : -KG-GA+4*KG+4*GB+3*KG+3*GC=0 à celle la -6*KG-GA+4*GB+3*GC=0 Je trouve +6KG*-GA*+4GB*+3GC*=0 Vous avez fais des manipulations entre ces deux étapes ?
145_HL Posté(e) le 5 décembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 5 décembre 2008 je me suis un peu mélangé dans les signes 6*KG-GA+4*GB+3*GC=0 ==>6*GK+GA-4*GB-3*GC=0 or GA+2*GB+GC=0 ==> GA+2*GB+GC=6*GK+GA-4*GB-3*GC+GA+2*GB+GC =6*GK+2*GA-2*GB-2*GC=6*GK+2*(GA-GB-GC)=0
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 5 décembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 5 décembre 2008 Merci beaucoup!!! Et comment on peut faire pour la 6), D barycentre ?
145_HL Posté(e) le 6 décembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 6 décembre 2008 6) Exprimer D comme barycentre de (A;x) (B;y) (C;z) ------------------------------ Parallélogramme ABDC. Soit O le point de concours des diagonale du Parallélogramme ABDC. O est le milieu AC est aussi le milieu de DB car les diagonales d'un paralèlogramme se coupent en leur milieu. O est l'isobarycentre de A, B, C et D ==> OA+OB+OC+OD=0 ==>OD+DA+OD+DB+OD+DC+OD=0 ==> 4*OD+ DA+DB+DC=0 ==> 2*AD+ DA+DB+DC=0 ==> -DA+DB+DC=0 et D est le barycentre de (A,-1) (B,1) et (C,1)
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 6 décembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 décembre 2008 Ah je connaissais pas cette propriété du point O!!! Pour la dernière question petit b) Je sais qu'il faut trouver GD*=aGK* En regardant avec la figure je vois GD*=3GK* mais j'ai essayé Chasles sur pleins de relations vectorielles et je n'arrive pas à trouver ce résultat, je ne dois pas partir de la bonne relation car j'ai toujours des B et C qui ne disparaissent jamais...
145_HL Posté(e) le 6 décembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 6 décembre 2008 6*GK+2*(GA-GB-GC)=0 et -DA+DB+DC=0 ==> 6*GK+2*(GA-GB-GC-DA+DB+DC)=0 ==>6*GK+2*(GA+AD-GB-GC+(DG+GB)+(DG+GC)=0 ==>6*GK+2*(GD-2*DG+)=0 ==>6*GK+2*DG=0 ==> 3*GK=GD
Messages recommandés
Archivé
Ce sujet est désormais archivé et ne peut plus recevoir de nouvelles réponses.