Exercice Urgent

[maud75011PARIS]

bonjour

j'ai un exercice dont je ne sais résoudre voici l'énoncé

f est défini sur R par f(x)=sin² x + cos x.

Cf est sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O;I,J)

1) Démontrer que f est périodique de période 2pi

2) Démontrer que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe Cf.

3) En déduire que l'on peut restreindre l'intervalle d'étude de f à:0fermé;pi fermé

4) vérifier que pour tout réel x: f'(x)=sinx(2cos x - 1)

5)déterminer le signe de f ' (x) sur Ofermé pi fermé

6)en déduire le tableau de variation de f sue 0 fermé pi fermé

merci de votre aide

[Barbidoux]

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f est défini sur R par f(x)=sin(x)^2+ cos x.

Cf est sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O;I,J)

1) Démontrer que f est périodique de période 2pi

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Association de fonction périodique de période 2 Pi donc fonction périodique de période 2*Pi

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2) Démontrer que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe Cf.

f(x)=sin(x)^2+ cos x. ==> f(-x)=sin(-x)^2+ cos(-x)=f(x)=sin(x)^2+ cos( x)=f(x) ==> fonction paire donc symétrique par rapport à la droite x=0

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3) En déduire que l'on peut restreindre l'intervalle d'étude de f à: [0; Pi]

La période de la fonction étnt de 2*Pi ==> f(x)=f(x+2*Pi) le graphe de la fonction se déduit par une translation de module 2*Pi et comme elle est symétrique par rapport à la droite x=0 il suffi de la tracer de -Pi à 0 ou de 0 à Pi

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4) vérifier que pour tout réel x: f'(x)=sinx(2cos x - 1)

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f(x)=sin(x)^2+ cos x ==> f’(x)=2*cos(x)sin(x)-sin(x)=sin(x)*(2*cos(x)-1) qui s’annule pour sin(x)=0 ==> x=0 et x=Pi et cos(x)=1/2 ==> x=Pi/3 et x=-Pi/3

5)déterminer le signe de f ' (x) sur [0; Pi]

6)en déduire le tableau de variation de f sur [0; Pi]

.......................0.............(pi/3).........................(Pi)....

Sin(x)..............0......(+)..................(+).............(0).....

2*Cos(x)-1..............(+).....(0).........(-)........................

f’(x).................0.....(+).......(0).........(-).............(0).......

f(x)......................crois.......Max......decrois.......Min