Exponentielle

[m4rin3]

bonsoir, j'ai cet exo à faire et j'aurai besoin d'aide s'il vous plait:

A l’instant t=0 (exprimé en heure), un corps dont la température est de 100° (en degré Celsius) est placé dans une salle à 20°C.

On désigne par θ (t) la température du corps à l’instant t.

D’après la loi de refroidissement de Newton, la vitesse de refroidissement θ’(t) est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.

Le coefficient de refroidissement est supposé égal à -2.08.

a) Expliqué pourquoi : θ’(t)=-2.08(θ(t)-20).

b) En déduire l’expression de θ(t)

c) Etudier le sens de variation de θ sur [0 ;+infini[

Déterminer la limite en +infini de θ.

Tracer la courbe représentative de θ.

d) Déterminer la température du corps, arrondie au degré au bout de 20 minutes, puis au bout de 30 minutes.

e) Déterminer une valeur approchée du temps au bout du quel la température tombera à 30°C :

-graphiquement ;

-avec une calculatrice.

merci beaucoup pr votre aide.

[Barbidoux]

A l’instant t=0 (exprimé en heure), un corps dont la température est de 100° (en degré Celsius) est placé dans une salle à 20°C.

On désigne par Q(t) la température du corps à l’instant t.

D’après la loi de refroidissement de Newton, la vitesse de refroidissement Q’(t)=dQ/dt est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.

Le coefficient de refroidissement est supposé égal à -2.08.

a) Expliqué pourquoi : Q’(t)=-2.08(Q(t)-20).

---------------------

D’après la loi de refroidissement de Newton, la vitesse de refroidissement ===> Q’(t)=dQ/dt

est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle ==> Q’(t)=dQ(t)/dt=k*(Q-20)

Le coefficient de refroidissement est supposé égal à -2.08 ==> Q’(t)=dQ(t)/dt=-2,08*(Q-20)=-2,08*Q+41,6

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b) En déduire l’expression de Q(t)

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équation différentielle sans second membre

dQ(t)/dt=-2,08*(Q-20) ==> dQ(t)/(Q-20)=-2,08*dt

Solution générale

ln (Q(t)-20)=-2,08*t + A où A une constante d’intégration déterminée en utilisant le conditions initiales t=0 ==> Q(0)=100 ==>

ln (100-20)= A ==> Q(t)=80*exp(-2,08*t)+20

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c) Etudier le sens de variation de Q(t) sur [0 ;+ [

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Q’(t)=-166.4 *exp(-2,08*t) <0 fct décroissante

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Déterminer la limite en +infini de Q(t).

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Lorsque t-> Q(t) -> 20 °C

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Tracer la courbe représentative de Q(t).

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d) Déterminer la température du corps, arrondie au degré au bout de 20 minutes, puis au bout de 30 minutes.

Q(20)=59,99= 60 °C

Q(30)=48,27=48 °C

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e) Déterminer une valeur approchée du temps au bout du quel la température tombera à 30°C :

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t=60 minutes ==> Q(60)=29,99 °C

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[m4rin3]

Re bonjour.

J'ai tout compris sauf ça :

b) En déduire l’expression de Q(t)

------------------------------------------

équation différentielle sans second membre

dQ(t)/dt=-2,08*(Q-20) ==> dQ(t)/(Q-20)=-2,08*dt

Solution générale

ln (Q(t)-20)=-2,08*t + A où A une constante d’intégration déterminée en utilisant le conditions initiales t=0 ==> Q(0)=100 ==>

ln (100-20)= A ==> Q(t)=80*exp(-2,08*t)+20

je n'ai pas encore vu le logarithme, "ln" donc je ne peux pas mettre ça sur ma copie...

comment je peux faire autrement ?

[Barbidoux]

Re bonjour.

J'ai tout compris sauf ça :

b) En déduire l’expression de Q(t)

------------------------------------------

équation différentielle sans second membre

dQ(t)/dt=-2,08*(Q-20) ==> dQ(t)/(Q-20)=-2,08*dt

Solution générale

ln (Q(t)-20)=-2,08*t + A où A une constante d’intégration déterminée en utilisant le conditions initiales t=0 ==> Q(0)=100 ==>

ln (100-20)= A ==> Q(t)=80*exp(-2,08*t)+20

je n'ai pas encore vu le logarithme, "ln" donc je ne peux pas mettre ça sur ma copie...

comment je peux faire autrement ?