Dm De Math

[the rock]

salut j'ai un dm pour demain pouriez vous m'aidé :

Soit ABCD un tetraedre de l'espace .On designe par G l'isobarycentre des points A,B,C et D.

1°) Montrer que G est et le millieu de segement dont les extrimites sont les millieux de deux arétes opposées ,

( [AB] [CD] , [bD] [AD] , et [AD] [bC] sont les trois paires d'arete opposées ,si besoin et on appellera I,J,K,L,M,N les millieux respectifs des cotés [AB] [CD] [AC] [bD] [AD] et [bC] )

2°) On designe respectivement par A', B',C' et D' les centres de gravite des triangle BCD,ACD, ABD et ABC

a) Montrer que G appartient ax droites (AA'), (BB'),(CC') et (DD'). etablir une relation vectoriel liant AG et AA'

b) Montrer que G et l'isobarycentre des points A',B',C' et D'

c) Monter que AA'+BB'+CC'+DD'=0

Merci d'avance

[the rock]

sil vous plait c'est vraiment urgent

[Barbidoux]

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Soit ABCD un tétraèdre de l'espace . On désigne par G l'isobarycentre des points A,B,C et D.

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==> GA+GB+GC+GD+0

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1°) Montrer que G est et le milieu de segment dont les extrémités sont les milieux de deux arêtes opposées ,

( [AB] [CD] , [bD] [AD] , et [AD] [bC] sont les trois paires d'arête opposées , si besoin et on appellera I,J,K,L,M,N les milieux respectifs des cotés [AB] [CD] [AC] [bD] [AD] et [bC] )

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IA+IB=0 ; JD+JC=0

KD+KB=0; LA+LC=0

MA+MD=0; NB+NC=0

De la relation GA+GB+GC+GD+0 on déduit :

GI+IA+GI+IB+GJ+JC+GJ+JD=0 ==> 2*GI+2*GJ=0 ==> G est le milieu de IJ

On démontrerait de même en écrivant :

GA+GB+GC+GD+0==> GM+MA+GN+NB+GMNC+GM+MD=0 que G est le milieu de MN

et ensuite de la même manière que que G est le milieu de LK

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2°) On désigne respectivement par A', B',C' et D' les centres de gravite des triangle

BCD==> A’B+A’C+A’D=0)

ACD ==>B’A+B’C+B’D=0 etc...

ABD

ABC

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a) Montrer que G appartient ax droites (AA'), (BB'),(CC') et (DD'). établir une relation vectoriel liant AG et AA'

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De la relation GA+GB+GC+GD=0 on déduit :

GA+GA’+A’B+GA’+A’C+GA’+A’D=0 ==> GA+3*GA’=0

on montrerait de même

GB+3*GB’=0

GC+3*GC’=0

GD+3*GD’=0

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b) Montrer que G et l'isobarycentre des points A',B',C' et D'

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En faisant la somme des quatre relation précédentes on arrive à

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GA+3*GA’+GB+3*GB’+GC+3*GC’+GD+3*GD’=0 ==>

3*GA’+3*GB’+3*GC’+3*GD’=0 ==> GA’+GB’+GC’+GD’=0 et G est l’isobarycentre de A’, B’, C’, et D’

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c) Monter que AA'+BB'+CC'+DD'=0

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GA+GB+GC+GD=0 ==> -GA-GB-GC-GD=0

GA’+GB’+GC’+GD’=0 ==> GA-GB-GC-GD+ GA’+GB’+GC’+GD’=0 ==>

AG+BG+CG+DG GA’+GB’+GC’+GD’=0 ==> AA’+BB’+CC’+DD’=0

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[the rock]

merci infiniment