équation Différentielle

[all-sar]

Bonjour,

J’ai besoin d’aide pour faire les 2 dernières questions de l’exo.

Exo :

Soit (E) l’équation (x^2 +1) ^2 y’ – x y =0.

J’ai prouvé que f définie par x → exp(- 1 / 2(x^2 + 1 )) est solution de ( E ).

Question1 :

Soit f une solution de (E) et g définie par g(x) = f(x)exp(1 / 2(x^2 + 1 )). Montrer que g est constante.

Solution :

g(x) = f(x)exp(1 / 2(x^2 + 1 ))

g(x) = exp(- 1 / 2(x^2 + 1 )) * exp(1 / 2(x^2 + 1 ))

Je ne sais pas après comment le calculer?

Question2 :

Déterminer l’ensemble de (E).

[Barbidoux]

Exo :

Soit (E) l’équation (x^2 +1) ^2 y’ – x y =0.

f définie par f(x) k*exp(- 1 / (2*(x^2 + 1))) est solution de ( E ).

Attention aux prenthèses !!!!

Question1 :

Soit f une solution de (E) et g définie par g(x) = f(x)exp(1 / 2(x^2 + 1 )). Montrer que g est constante.

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g(x)=f(x)*Exp(1/(2*(x^2+1))

==> g’(x)= ((1+x^2)^2*f((x)-x*f(x))*Exp(1/(2*(x^2+1)) /(1+x^2)^2

or f(x) étant solution de (E) alors (1+x^2)^2*f((x)-x*f(x)=0 ==> g’(x)=0 ==> g’(x)= k (k est une constante)

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Question2 :

Déterminer l’ensemble de (E).

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L’nsemble de (E) est tel que

g(x)=f(x)*Exp(1/(2*(x^2+1)) =k ==> f(x)=k/Exp(1/(2*(x^2+1)) = k*Exp(-1/(2*(x^2+1))