logan62 Posté(e) le 2 novembre 2008 Signaler Posté(e) le 2 novembre 2008 Hello tout le monde !!! Voilà, j'aurais besoin de votre aide pour cet exercice concernant les fonctions. Voici l'énoncé : f est la fonction définie sur I=]-1;+inf[ par : f(x)=(x-1)(x²+3x+3)/((x+1)²) 1. Trouver trois réels a, b, c tels que pour tout réel x de I, f(x)=ax+(b/x+1)+(c/(x+1)²) 2. Déduisez-en que f est une fonction strictement croissante sur I. 3.a) Vérifiez que pour tout réel x, x²+3x+3=(x+1)²+x+2 et déduisez-en que pour tout x de I, (x²+3x+3)/(x+1)²>1 Expliquez pourquoi on peut en déduire que pour tout réel x tel que x>1, f(x)>x-1. b) Démontrez que pour tout x de I, f(x)<x. c) Interprétez graphiquement les deux inégalités obtenues et hachurez sur un graphique la région du plan dans laquelle doit se situer la courbe de f. 4. À l'aide de la courbe obtenue sur votre calculatrice ou un grapheur, conjecturez l'ensemble décrit par les images f(x) lorque x décrit tout l'intervalle I. Pour la question 1, j'ai trouvé : a=1 ; b=-1 ; c=-2 Ensuite la question deux me pose problème : j'utilise limf(x)(x->0)=(fx+h)-f(x)/h. Pour f(x+h), j'obtiens 2ax+2ah+2a+bx+bh+1+c, par contre pour f(x), je ne vois pas trop comment faire avec le dénominateur. Pour la question 3a), j'ai réussi la première parti, mais pas la deuxième. Les 3b) et 3c) et 4), je n'ai pas encore regardé avec précision.
logan62 Posté(e) le 2 novembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 2 novembre 2008 J'ai oublié : merci d'avance pour votre aide =).
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 2 novembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 2 novembre 2008 f est la fonction définie sur I=]-1;+inf[ par : f(x)=(x-1)(x^(2)+3*x+3)/(x+1)^2 1. Trouver trois réels a, b, c tels que pour tout réel x de I, f(x)=a*x+(b/x+1)+(c/(x+1)^2) il me semble que l’expression doit être écrite f(x)=a*x+b/(x+1)+c/(x+1)^2 ---------------------------------------- f(x)=(x-1)(x^(2)+3*x+3)/(x+1)^2=(x^3+2*x-3)/(x+1)^2 =x*(x+1)^2-(x+1)-2)/(x+1)^2=x-1/(x+1)-2/(x+1)^2 ------------------------------------------- 2. Déduisez-en que f est une fonction strictement croissante sur I. ------------------------- f’(x)=1 + 4/(1 + x)^3 + 1/(1 + x)^2 >0 qielque soit la avleur de x appartee,ta à ]-1; [ ------------------------- 3.a) Vérifiez que pour tout réel x, x^3+3*x+3=(x+1)^2+x+2 ----------- (x+1)^2+x+2 =x^2+2*x+1+x+2=x^2+3*x+3 ----------- et déduisez-en que pour tout x de I, (x^2+3*x+3)/(x+1)^2>1 x>-1 ==> x+2>1 ==> (x+1)^2+x+2>(x+1)^2 ==>x^2+3*x+3>(x+1)^2==> (x^2+3*x+3)/(x+1)^2>1 ------------ Expliquez pourquoi on peut en déduire que pour tout réel x tel que x>1, f(x)>x-1. ----------- si x>1 alors (x-1)*(x^2+3*x+3)/(x+1)^2>(x-1) ==> f(x)>(x-1) ----------- b) Démontrez que pour tout x de I, f(x)<x. -1/(x+1)-2/(x+1)^2<0 ==> x-1/(x+1)-2/(x+1)^2<x ==> f(x)<x ----------- c) Interprétez graphiquement les deux inégalités obtenues et hachurez sur un graphique la région du plan dans laquelle doit se situer la courbe de f. On hachure l'espace compris entre le graphe des droites y=x et y=x-1 ----------- 4. À l'aide de la courbe obtenue sur votre calculatrice ou un grapheur, conjecturez l'ensemble décrit par les images f(x) lorque x décrit tout l'intervalle I.
logan62 Posté(e) le 2 novembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 2 novembre 2008 Tu peux m'expliquer comment tu fais pour les questions 2 et 3a) deuxième partie ? Je comprends pas comment tu as fait. En tout cas, un grand merci .
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 2 novembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 2 novembre 2008 2. Déduisez-en que f est une fonction strictement croissante sur I. ------------------------- f’(x)=1 + 4/(1 + x)^3 + 1/(1 + x)^2 x>-1 (c'est donné dans l'énoncé) ==> 1+x>0 ==> 1/(1+x) ==>1/(1+x)^2>0==> 4*(1/(1+x)*(1/(1+x)^2) ==> f'(x)>0 quelque soit la valeur de x appartee,ta à ]-1; [ et une fonction dont la dérivée est positive dans un intervalle donné est croissante sur cet intervalle ------------------------- 3.a) Vérifiez que pour tout réel x, x^3+3*x+3=(x+1)^2+x+2 ----------- (x+1)^2+x+2 =x^2+2*x+1+x+2=x^2+3*x+3 ----------- et déduisez-en que pour tout x de I, (x^2+3*x+3)/(x+1)^2>1 x>-1 x>-1 (c'est donné dans l'énoncé) ==> x+2>1 ==> (x+1)^2+x+2>(x+1)^2 ==>x^2+3*x+3>(x+1)^2==> (x^2+3*x+3)/(x+1)^2>1 ------------ Expliquez pourquoi on peut en déduire que pour tout réel x tel que x>1, f(x)>x-1. ----------- (x^2+3*x+3)/(x+1)^2>1 (voir question précédente) si x>1 alors (x-1)*(x^2+3*x+3)/(x+1)^2>(x-1) ==> f(x)>(x-1)
logan62 Posté(e) le 2 novembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 2 novembre 2008 Ah oui, mais nous n'avons pas encore vu les dérivés comme celle-là : nous n'avons que la formule limf(x)=[f(x+h)f(x)]/h quand x tend vers 0. Pour la question 3), je pense avoir compris .
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