Fonction Sinus Et Cosinus

[m4rin3]

Bonjour, j'ai un exo à traiter. Je n'ai pas fait toutes les questions, pouvez-vous m'aider?

La fonction cosinus hyperbolique, notée ch, est définie sur R par ch(x)=e^x+e^-x/2

La fonction sinus hyperbolique, notée sh, est définie sur R par sh(x)=e^x-e^-x/2

1)Etude de la fonction ch:

a)démontrer que ch est paire

b)étudier les limites en + et - l'infini

c)étudier de sens de variation de la fonction ch sur R

2)Etude de la fonction sh:

a)démontrer que sh est impaire

b)étudier les limites de sh en + et - l'infini

c)étudier le sens de variation de la fonction sh sur R

3)représentations graphiques:

on note C et S les courbres représentatives respectives des fonctions ch et sh dans un repère du plan.

a)démontrer que la courbe C est au dessus de la courbe S.

b)étudier les limites en + l'infini de la fonction x->ch(x)-sh(x)

4)des formules:

a)démontrer que pour tous réels a et b,

ch(a+b)=ch(a)*ch(b)+sh(a)*sh(b);

sh(a+b)=sh(a)*ch(b)+sh(b)*ch(a).

b)en déduire que pour tout réel a:

ch(2a)=ch²(a)+sh²(a) et sh(2a)=2sh(a)*ch(a)

c)démontrer que pour tout réel a: ch²(a)-sh²(a)=1

Merci d'avance !

[Barbidoux]

[La fonction cosinus hyperbolique, notée ch, est définie sur R par ch(x)=e^x+e^-x/2

je rectifie ch(x)=(e^(x)+e^(-x))/2

La fonction sinus hyperbolique, notée sh, est définie sur R par sh(x)=(e^(x)-e^(-x))/2

1)Etude de la fonction ch:

a)démontrer que ch est paire

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ch(x)=(e^(x)+e^(-x))/2

ch(-x)=(e^(-x)+e^(x))/2=ch(x) ==> fonction paire, graphe symétrique par rapport à oy

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b)étudier les limites en + et - l'infini

----------------------------------

lorsque x -> :infini : e^(x) -> et e^(-x) -> 0 ==> Ch(x) ->

lorsque x -> - :infini : e^(-x) -> et e^(x) -> 0 ==> Ch(x) ->

----------------------------------

c)étudier de sens de variation de la fonction ch sur R

----------------------------------

f(x)=ch(x) ==> f’(x)=(e^(x)-e^(-x))/2=sh(x)

lorsque x -> :infini : e^(x) -> et e^(-x) -> 0 ==> Ch(x) ->

lorsque x -> - :infini : e^(-x) -> et e^(x) -> 0 ==> Sh(x) -> -

f’(0)=0

..........................................(0)......................

f’(x).................(-)...............(0).................(+)

Ch(x)..........décrois..........Min................crois

----------------------------------

2)Etude de la fonction sh:

a)démontrer que sh est impaire

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sh(x)=(e^(x)-e^(-x))/2

sh(-x)=(e^(-x)-e^(x))/2=-sh(x) ==> fonction impaire, graphe symétrique par rapport à l’origine

----------------------------------

b)étudier les limites de sh en + et - l'infini

----------------------------------

lorsque x -> :infini : e^(x) -> et e^(-x) -> 0 ==> Ch(x) ->

lorsque x -> - :infini : e^(-x) -> et e^(x) -> 0 ==> Sh(x) -> -

----------------------------------

c)étudier le sens de variation de la fonction sh sur R

----------------------------------

f(x)=sh(x) ==> f’(x)=(e^(x)+e^(-x))/2=ch(x)

lorsque x -> :infini : e^(x) -> et e^(-x) -> 0 ==> Ch(x) ->

lorsque x -> - :infini : e^(-x) -> et e^(x) -> 0 ==> Ch(x) ->

..........................................(0)......................

f’(x).................(+)...............(0).................(+)

Ch(x)..........crois................Max................crois

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3)représentations graphiques:

on note C et S les courbres représentatives respectives des fonctions ch et sh dans un repère du plan.

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graphe de Ch(x)

graphe de Sh(x)

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a)démontrer que la courbe C est au dessus de la courbe S.

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2*e^(-x) >0 ==> e^(x) +2*e^(-x) >e^(x) ==> e^(x) +e^(-x) > e^(x) -e^(-x) ==> (e^(x) +e^(-x))/2 > (e^(x) -e^(-x))2 ==> Ch(x)>Sh(x) et la courbe C est au dessus de la courbe S.

----------------------------------

b)étudier les limites en + l'infini de la fonction x->ch(x)-sh(x)

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ch(x)-sh(x)= (e^(x) +e^(-x))/2 - (e^(x) -e^(-x))2 = e^(-x) -> 0 lorsque x->

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4)des formules:

a)démontrer que pour tous réels a et b,

ch(a+b)=ch(a)*ch(b)+sh(a)*sh(b);

sh(a+b)=sh(a)*ch(b)+sh(b)*ch(a).

----------------------------------

ch(a+b)=(e^(a+b)+e^(-a-b))/2=(2*e^(a+b)+2*e^(-a-b))/4

=(e^(a+b)+e^(-a-b)+e^(a+b)+e^(-a-b))/4

=(e^(a+b)+e^(a-b)+e^(-a+b)+e^(-a-b)+e^(a+b)-e^(a-b)-e^(-a+b)+e^(-a-b))/4

=(e^(a+b)+e^(a-b)+e^(-a+b)+e^(-a-b))/4+(e^(a+b)-e^(a-b)-e^(-a+b)+e^(-a-b))/4

=(e^(a)+e^(-a))*(e^(b)+e^(-b))/4+(e^(a)-e^(-a))*(e^(b)-e^(-b))/4

=((e^(a)+e^(-a))/2)*(e^(b)+e^(-b))/2+((e^(a)-e^(-a))/2)*(e^(b)-e^(-b))/2

=ch(a)*ch(b)+sh(a)*sh(b);

----------------------------------

sh(a+b)=(e^(a+b)-e^(-a-b))/2=(2*e^(a+b)-2*e^(-a-b))/4

=(e^(a+b)-e^(-a+b)+e^(a-b)-e^(-a-b)+e^(a+b)+e^(-a+b)-e^(a-b)-e^(-a-b))/4

=(e^(a+b)-e^(-a+b)+e^(a-b)-e^(-a-b))/4+(e^(a+b)+e^(-a+b)-e^(a-b)-e^(-a-b))/4

=(e^(a)-e^(-a))*(e^(b)+e^(-b))/4+(e^(a)+e^(-a))*(e^(b)-e^(-b))/4

=((e^(a)-e^(-a))/2)*(e^(b)+e^(-b))/2+((e^(a)+e^(-a))/2)*(e^(b)-e^(-b))/2

=Sh(a)*Ch(b)+Ch(a)*Sh(b)

----------------------------------

b)en déduire que pour tout réel a:

ch(2a)=ch^2(a)+sh^2(a) et sh(2a)=2sh(a)*ch(a)

----------------------------------

ch(a+a)=ch(a)*ch(a)+sh(a)*sh(a)=ch^2(a)+sh^2(a)

sh(a+a)=sh(a)*ch(a)+sh(a)*ch(a)=2sh(a)*ch(a)

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c)démontrer que pour tout réel a: ch^2(a)-sh^2(a)=1

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(Ch(a)+Sh(a))*(Ch(a)-Sh(a))=Ch(a)^2-Sh(a)^2 =(e^(a)*e(-a))=1

A vérifier......

[m4rin3]

Ok d'accord.

Pour l'instant ya qqchose que je ne compends pas c'est la dérivée de ch:

(x)=ch(x) ==> f’(x)=(e^(x)-e^(-x))/2=sh(x)

pourquoi un "-" moi je trouve e^x+e^-x/2

on utilise bien u'v-uv'/v² ?

merci :!!!

[m4rin3]

C'est bon j'ai compris!

La dérivé de e^-x est: -e^-x ; c'est là où j'avais un problème.