tiboo Posté(e) le 26 octobre 2008 Signaler Posté(e) le 26 octobre 2008 bonjour, tout le monde voila j'ai un exercice sur les fonctions et primitives mais je bloque complètement même pour les limites, j'espère que vous pourrez m'aider : 1) soit f la fonction définie sur [0; + inf[ par : f(x) = (5-4x)/4(1+x^3) a) determiner la limite de f en + inf b) démontrer qu'il existe trois réels a, b, c tels que pour tout réel x positif, f'(x) = [ (x-2)(ax² + bx + c)]/16(1+x^3)² c) écrire le tableau de variation de f sur [0; + inf[ 2)on note F la primitive de f sur [0; + inf[ qui s'annule en 0 a) justifier l'existence de F sans la déterminer b) determiner le sens de variation de F c)démontrer que : pour tout réel t strictement positif, f(t) + 1/t² > 0 d) soit G la fonction definie sur [3; + inf[ par : G(x) = F(x) -F(3) -1/x +1/3 determiner le sens de variation de G sur [3; + inf[ et determiner G(3). merci d'avance pour votre aide.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 26 octobre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 26 octobre 2008 1) soit f la fonction définie sur [0; + inf[ par : f(x) = (5-4*x)/(4(1+x^3)) ---------------------------------- a) determiner la limite de f en + ---------------------------------- lorsque x-> f(x) -4*x/x^3=-4/x^2 ->0- tend vers 0 par valeurs inférieures ---------------------------------- b) démontrer qu'il existe trois réels a, b, c tels que pour tout réel x positif, f'(x) = [ (x-2)*(a*x^2 + b*x + c)]/(16*(1+x^3)^2) ---------------------------------- f’(x)=(8 x^3- 15 x^2-4)/(4 (x^3+1)^2) (8*x^3- 15*x^2-4)/(x - 2)=8*x^2+x+2 ==> f’(x)=(x-2)*(8*x^2+x+2)/(4*(1+x^3)^2) ---------------------------------- c) écrire le tableau de variation de f sur [0; [ ---------------------------------- 8*x^2+x+2 n’a pas de racines et est >0 sur [0; [ .......................................2................................ f’(x) ...........(-)...............(0).........(+)......... f(x)........decrois............Min.......crois....... ---------------------------------- 2)on note F la primitive de f sur [0; + inf[ qui s'annule en 0 a) justifier l'existence de F sans la déterminer ---------------------------------- ? ---------------------------------- b) déterminer le sens de variation de F ---------------------------------- .................................(5/4)...................... f(x).............(+)............(0)..........(-)......... F(x).........crois............Max........decrois..... ---------------------------------- c)démontrer que : pour tout réel t strictement positif, f(t) + 1/t^2 > 0 ---------------------------------- f(t)-1/t^2=(5-4*t)/(4*(1+t^3))+1/t^2=(4+5*t^2)/(4*t^2*(1+t3) >0 pour toute valeur t>0 ---------------------------------- d) soit G la fonction definie sur [3; + inf[ par : G(x) = F(x) -F(3) -1/x +1/3 determiner le sens de variation de G sur [3; [ et determiner G(3). ------------------------------------ G’(t)=F’(x)+1/x^2 =f(x)+1/x^2 >0 pour toute valeur x>0 et G(x) est strictement croissante sur [3; [ G(3)=F(3)-F(3)-1/3+1/3=0 ---------------------------------- A vérifier.......
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