Aide Dm

[Allezlelosc_59]

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'aide pour le premier exercice de mon devoir de Mathématiques.

Le voici :

ABC est un triangle. I le barycentre de {(A,2) ; (C,1) }, J celui de {(A,1) ; (B,2) } et K celui de {(B,4) (C, -1)}

1) Construire I, J et K

Pour K -> vec BK = -1/3 vec BC

2) Montrer que B est le barycentre de K et C avec les coefficients que l'on déterminera.

-> Théorème d'associativité mais comment, ne sachant pas de quoi C est le barycentre ?

3) Montrer que J est le barycentre de {(A,2) (K,3) (C,1)}

-> Théorème d'associativité dans l'autre sens ?

En déduire que J est le milieu de [iK] -> associativité en partant des barycentres I et K.

4) Soit L le milieu de [CI] et M celui de [KC]

Montrer que IJML est un parallélogramme.

-> ?

5) Soit O le centre du parallélogramme IJML.

Montrer que O est l'isobarycentre des points I, J, M, L et le centre de gravité du triangle ABC.

-> Comment faire ?

Merci beaucoup et bonne après-midi à tous

[Barbidoux]

ABC est un triangle.

I le barycentre de {(A,2) ; (C,1) }, ==> 2*IA+IC=0

J celui de {(A,1) ; (B,2) } ==> JA+2*JB=0

et K celui de {(B,4) (C, -1)}==> 4*KB-KC=0

1) Construire I, J et K

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2) Montrer que B est le barycentre de K et C avec les coefficients que l'on déterminera.

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4*KB-KC=0 ==> 4*KB-(KB+BC)=0 ==> 3*KB+CB=0 ==> 3*BK+BC=0

B est le barycentre de (K,3) et (C,1)

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3) Montrer que J est le barycentre de {(A,2) (K,3) (C,1)}

JA+2*JB=0 et 3*BK+BC=0

==> JA+2*JB+3*BK+BC=0 ==>JA+2*JB+3*(BJ+JK)+BJ+JC=0==>

JA+2*JB+3*BJ+3*JK+BJ+JC=0==>JA+2*BJ+3*JK+JC=0==> et comme JA+2*JB=0 ==> JA+2*JB+JA+2*BJ+3*JK+JC=0 ==>2*JA+3*JK+JC=0

J est le barycentre de {(A,2) (K,3) (C,1)}

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En déduire que J est le milieu de [iK]

2*JA+3*JK+JC=0 ==>2*(JI+IA)+3*JK+JI+IC=0==>3*JI+3*JK+2*IA+IC=0 ==> 3*JI+3*JK=0 et J est le milieu de [iK]

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4) Soit L le milieu de [CI] et M celui de [KC] . Montrer que IJML est un parallélogramme.

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L le milieu de [CI] et M celui de [KC] ==>LM//IK

Les triangles CML et CKI sont semblables et ML/IK=CK/CM=1/2 ==> J étant le milieu de IK ==> ML=IJ et le quadrilatère LMJI qui a deux côtes // et égaux est un parallélogramme.

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5) Soit O le centre du parallélogramme IJML.

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Montrer que O est l'isobarycentre des points I, J, M, L et le centre de gravité du triangle ABC.

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O est l'isobarycentre des points I, J, M, L ==> OI+OJ+OM+OL=0 ==> OI+OM=0 et OJ+OL=0

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2*OA=2*OI+2*IA

OC=OI+IC ==> 2*OA+OC=3*OI+2*IA+IC=3*OI

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2*OB=2*OM+2*MB

OC=OM+MC ==> 2*OB+OC=3*OM+2*MB+MC =3*OM

et finalement

2*OA+OC+2*OB+OC=2*OA+2*OB+2OC=3*OI+3*OM=0 et O est isobarycentre de A, B, C est donc le centre de gravité du triangle ABC.

A vérifier........

[Allezlelosc_59]

J'avais trouvé jusqu'au 4) et ton aide m'a, ma foi, était très utile !

Un grand merci!