Proton Posté(e) le 11 octobre 2008 Signaler Posté(e) le 11 octobre 2008 Bonjour à tous, je bloque sur un petit exercice: (un) définie par u0 pour tout n appartenant à N un+1=2un+(5)^n 1) On définit (zn) par zn=un/(5)^n a) Prouvez que cette suite est arithmético-géométrique b)En déduire zn puis un en fonction de n Pour la 1 je pensais calculer quelques termes de la suite et montrer qu'elle n'était ni arithmétique ni géométrique mais par manque de donnée je ne peux pas, donc je ne vois pas comment faire ! Merci de m'aider svp
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 11 octobre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 11 octobre 2008 Bonjour à tous, je bloque sur un petit exercice: (un) définie par u0 pour tout n appartenant à N un+1=2un+(5)^n 1) On définit (zn) par zn=un/(5)^n a) Prouvez que cette suite est arithmético-géométrique b)En déduire zn puis un en fonction de n Pour la 1 je pensais calculer quelques termes de la suite et montrer qu'elle n'était ni arithmétique ni géométrique mais par manque de donnée je ne peux pas, donc je ne vois pas comment faire ! Merci de m'aider svp
Chewing-gum Posté(e) le 11 octobre 2008 Signaler Posté(e) le 11 octobre 2008 Ne manque t-il pas la valeur de u0 dans l'énoncé ?
E-Bahut elp Posté(e) le 12 octobre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 12 octobre 2008 il suffit de montrer que z(n+1) est de la forme az(n)+b (a et b réels) on utilise les déf de u(n) et z(n) z(n+1)=u(n+1)/5^(n+1)=[2u(n)+5^n]/5^(n+1)=2u(n)/5^(n+1)+5^n/5^(n+1)=(2/5)*u(n)/5^n)+1/5=(2/5)z(n)+(1/5) a=2/5 et b=1/5
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 12 octobre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 12 octobre 2008 un définie par u0 pour tout n appartenant à N un+1=2*un+5n 1) On définit zn par zn =un/5n a) Prouvez que cette suite est arithmético-géométrique b) En déduire zn puis un en fonction de n -------------------------- Une suite arithmético-géométrique est une suite de la forme un+1=a*un+b où un+1-b/(1-a) est une suite géométrique ------------------------- zn=un/5n ==>zn+1=un+1/5n+1 ==> un+1/5n+1=2*un/5n+1 +1/5=(2/5)*un/5n+1 /5==> zn+1=(2/5)*zn+1/5 Ce qui est bien une suite arithmético-géométrique ------------------------- zn+1-1/3=(2/5)*zn+1/5-1/3=(2/5)*zn-2/15=(2/5)*(zn-1/3) suite géométrique de raison 2/5 -------------------------- z0=u0 ==> z1-1/3=(2/5)*(z0-1/3) z2-1/3=(2/5)*(z1-1/3)=(2/5)*((2/5)*(z0-1/3)-1/3)-(2/5)*(1/3)=(2/5)*2(z0-(2/5)*2*(1/3)-(2/5)*(1/3) =(2/5)*2(z0-(1/3)*((2/5)+(2/5)*2) z3-1/3=(2/5)*(z2-1/3)=(2/5)*((2/5)*(z0-1/3)-1/3)=(2/5)*3(z0-(1/3)*((2/5)+(2/5)2+(2/5)3) .............. zn-1/3=(2/5)n*(zn-1-1/3)=(2/5)*n*z0-(1/3)*(2/5+(2/5)*2+...(2/5)*n) ==> zn=(2/5)*n*z0-(1/3)*(2/5+(2/5)*2+...(2/5)*n)+1/3 =(2/5)*n*z0+(1/3)*(1-2/5-(2/5)*2-...(2/5)*n) et comme un=zn*5n et u0=z0 zn=2*n*z0+(1/3)*(5n-2-22-......2n-1) Sauf erreur de ma part....
Proton Posté(e) le 12 octobre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 12 octobre 2008 Merci beaucoup, je vais essayer de comprendre!
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