m4rin3 Posté(e) le 28 septembre 2008 Signaler Posté(e) le 28 septembre 2008 Bonjour à tous, j'aurai besoin d'aide sur l'exo suivant: dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u;v), on considère les points Mn (n est en bas à droite) d'affixe: Zn=(1/2i)^n(1+ i rac(3)) où n est un entier naturel. 1)Exprimer Zn+1 enfonction de Zn, puis Zn en fonction de Z0 (0 en indice n bas à droite) et n. Zn+1=(1/2i)^n+1(1+ i rac(3)) Aoprès on me demande de donner Z0, Z1, Z3 et Z4 sous forme algébrique et sous forme trigo, je sais faire il faut juste que j'ai un premier exemple avec Z0. 2)placer les pts M0, M1, M3 et M4 (ça je sais faire) 3)Déterminer la distance OMn en fonction de n 4)a) montrer que MnMn+1= rac(5)/2^n pour tout n entier naturel. b)On pose: n Ln=Somme MkMk+1 k=0 (cad Ln=M0M1+M1M2+...MnMn+1) Déterminer Ln en fonction de n puis la limite de Ln qd n tend vers + l'infini. 5)déterminer une mesure de l'angle (OM0,OMn) en fonction de n. Pour quelles valeurs de n les points O, M0 et Mn sont-ils alignés? Merci beaucoup à l'avance!
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 28 septembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 28 septembre 2008 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u;v), on considère les points Mn (n est en bas à droite) d'affixe: Zn=(1/(2i))^(n)*(1+ i* (3)) où n est un entier naturel. 1)Exprimer Zn+1 enfonction de Zn, puis Zn en fonction de Z0 (0 en indice n bas à droite) et n. Zn=(1/(2i))^(n)*(1+ i* (3))=(-i/(-2*i^2))^(n)*(1+ i* (3)) =(-i/2)^(n)*(1+ i* (3)) Zn+1=(-i/2)^(n+1)*(1+ i* (3)) ----------------------- Z0=(1+ i* (3)) ==> Zn+1=(-i/2)^(n+1)*(1+ i* (3)) =(-i/2)^(n+1)*Z0 Z0=2*(1+ i* (3))/2 =2*(1/2+ i*(3)/2) =2*(Cos(Pi/3)+i*Sin(Pi/3)) Le module de Z0 vaut ||Z0||=2 ------------------------ Zn=(-i/2)^(n)*Z0 ------------------------ Z1=(-i/2)*(1+ i* (3))=(-i/2)*Z0 =-i*Z0/2 Z1=(1/2)*( (3)-i)=( (3)/2-i/2)=(Cos(Pi/3-Pi/2)+i*Sin(Pi/3-Pi/2)) ==> Rotation de -Pi/2 de Z0 et division de son module par 1/2 ------------------------ Z2=(-i/2)^(2)*Z0 =2*(i^2/4)*Z0=(-i/2)*Z1 =(-1/4)*Z0 Rotation de -Pi/2 de Z1 et divisions de son module par 1/2 où rotation de -Pi de Z1 et division de son module par 1/4. ------------------------ Z3=(-i/2)^(3)*Z0 =2*(-i/2)^(2)*(-i/2)*Z0 =(-i/2)*Z2=(i/8)*Z0 ------------------------ Z4=(-i/2)^(4)*Z0 =2*(-i/2)^(2)*(-i/2)^(2)*Z0 =(-i/2)*Z2=(1/16)*Z0 ------------------------ Plus généralement Z(n+1) est obtenu à partie de Zn par une rotation de -Pi/2 de Zn et division de son module par 1/2 . ------------------------ 3)Déterminer la distance OMn en fonction de n ----------------------- OMn=(1/2)^n*( (1+(3)^2)^(1/2)=(1/2)^(n-1) ----------------------- 4)a) montrer que MnMn+1= rac(5)/(2^n) pour tout n entier naturel. ----------------------- Voir plus haut ||Z(n+1)||=||Zn||/2 et ||Zn||=OMn=(1/2)^(n-1) d’une part et d’autre part Z(n+1) est obtenu à partie de Zn par une rotation de -Pi/2 de Zn ce qui veut dire que la triangle M(n+1)OMn est rectangle en O ==> (M(n+1)Mn) = (M(n+1)O^2 +MnO^2)= (||Z(+1)||^2+||Zn||^2) = ((||Zn||/2)^2+||Zn||^2) =||Zn||* (1/4+1)=(1/2)^(n-1)* (5/4)=(1/2)^(n)* (5)= (5) /(2^n) ----------------------------- Ln=Somme (MkMk+1)=( (5) + (5) /2+ (5) /(2^2)+...... (5) /(2^n)+1) = (5)*(1+1/2+1/(2^2)+......+1/(2^n)+1/ (5))= (5)*(2-1/(2^n)+1/ (5)) ----------------------------- Lorsque n-> Ln= (5)*(2-1/( )+1/ (5) )= (5) *(2+1/ (5) ) ------------------------------------------------ 5)déterminer une mesure de l'angle (OM0,OMn) en fonction de n. OMO,OMn=-n*Pi/2, les points sont alignés pour n pair A vérifier........
m4rin3 Posté(e) le 1 octobre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 1 octobre 2008 Re. Merci de la réponse! mais je ne comprend pas comment vous faites pour trouver la forme trigo... à Z0 je trouve un module de 1 moi :S Pourquoi faut-il faire des rotation de -pi/2 et des division du module par 1/2 ??? Pouvait m'aider pr les formes trigo et algé de Z2,Z3etZ4?? Sinon pour la question4/B) pour trouveer la limite : ----------------------------- Lorsque n-> Ln= (5)*(2-1/( )+1/:sqrt: (5))= (5)*(2+1/:sqrt: (5))= Estce quil ne manquerait pas qqchose à la fin du = ? merci beaucoup!
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 1 octobre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 1 octobre 2008 mais je ne comprend pas comment vous faites pour trouver la forme trigo... à Z0 je trouve un module de 1 moi :S
m4rin3 Posté(e) le 1 octobre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 1 octobre 2008 Ah d'accord ok! Et pour la toute dernière question OMO,OMn=-n*Pi/2, les points sont alignés pour n pair Y'a pas un calcul pour arriver à OMO,OMn=-n*Pi/2, ? merciiiiiii
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 1 octobre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 1 octobre 2008 Ah d'accord ok! Et pour la toute dernière question OMO,OMn=-n*Pi/2, les points sont alignés pour n pair Y'a pas un calcul pour arriver à OM0,OMn=-n*Pi/2, ? merciiiiiii
m4rin3 Posté(e) le 3 octobre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 3 octobre 2008 Ok d'accord, sinon j'avais pensé: (OM0,OMn) c'st un angle dc pr des complexes, c'est un argument arg(OM) arg(ZMn-ZO/Zmo-Z0) ici Z0 du dénominateur se supprime non ?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 3 octobre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2008 Ok d'accord, sinon j'avais pensé: (OM0,OMn) c'est un angle donc pour des complexes, c'est un argument
Avril Posté(e) le 3 octobre 2008 Signaler Posté(e) le 3 octobre 2008 Ok ce n'est pas grave, j'arrive pas à m'expliquer Sinon pour cette question : Ln=Somme (MkMk+1)=( (5) + (5) /2+ (5) /(2^2)+...... (5) /(2^n)+1) = (5)*(1+1/2+1/(2^2)+......+1/(2^n)+1/ (5))= (5)*(2-1/(2^n)+1/ (5)) Là ou il y a des points je laisse comme cela?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 3 octobre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2008 Ok ce n'est pas grave, j'arrive pas à m'expliquer Sinon pour cette question : Ln=Somme (MkMk+1)=( (5) + (5) /2+ (5) /(2^2)+...... (5) /(2^n)+1) = (5)*(1+1/2+1/(2^2)+......+1/(2^n)+1/ (5))= (5)*(2-1/(2^n)+1/ (5)) Là ou il y a des points je laisse comme cela?
m4rin3 Posté(e) le 4 octobre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 4 octobre 2008 Oui d'accord ça va déjà jusque (2^4) et ensuite ça se termine par (2^n) ? (si jai bien compris) (5)*(1+1/2+1/(2^2)+1+1/2+1/(2^3)+1+1/2+1/(2^4)+1/(2^n)+1/ (5))= (5)*(2-1/(2^n)+1/ (5)) ?? Sinon, pour la toute première question, ça à un rapport avec les suites géométriques? Et j'aimerai savoir combien font -1/2 et -rac(3)/2 en radians ??? car j'ai du mal à me repérer sur mon cercle trigonométrique, je ne sais pas si quand c'est "-" il faut regarder à gauche ou "en bas" du cercle. Merci Beaucoup!
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 4 octobre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 4 octobre 2008 Oui d'accord ça va déjà jusque (2^4) et ensuite ça se termine par (2^n) ? (si jai bien compris) (5)*(1+1/2+1/(2^2)+1+1/2+1/(2^3)+1+1/2+1/(2^4)+1/(2^n)+1/ (5))= (5)*(2-1/(2^n)+1/ (5)) ??
m4rin3 Posté(e) le 5 octobre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 5 octobre 2008 Merci pour toute la réexplication et pour le dessin! Je vois. Mais enfaite ce que j'aimerai savoir comme par exemple 1/2 en radians donne pi/3 ou rac(2)/2 donne pi/4, c'est pour comparer que je voudrai savoir que donne -1/2 et -rac(3)/2 en radians!! merciii
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 5 octobre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 5 octobre 2008 Merci pour toute la réexplication et pour le dessin! Je vois. Mais enfaite ce que j'aimerai savoir comme par exemple 1/2 en radians donne pi/3 ou rac(2)/2 donne pi/4, c'est pour comparer que je voudrai savoir que donne -1/2 et -rac(3)/2 en radians!! merciii
m4rin3 Posté(e) le 6 octobre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 6 octobre 2008 Ah oui! c'est bon j'ai compris! Merci merci beaucoup ça fait plaisir d'avoir autant d'explications!
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