Hellboy64 Posté(e) le 23 septembre 2008 Signaler Posté(e) le 23 septembre 2008 Bonjour je voudrais de l'aide pour mon devoir maison parce que je ne comprends absolument rien du tout a la demarche proposée par mon énoncé que voici : Etant donnés les réels x et y tels que 0<x<y , et leurs moyennes arithmetiques m, géometriques g et harmoniques h. Démontrer que l'on a : x<h<g<m<y. Soit a et b 2 réels tels que 0<a<b et les suites u et v telles que : u0=a et v0=b u(n+1) = 2unvn / un+vn v(n+1) = un+vn / 2 Démontrer que 0<un<vn Justifier que u est croissante et que v est décroissante ( strictement ) Soit d=v-u Demontrer que d(n+1) < dn/2 en deduire que d0*(1/2)^n dn Justifier que les suites sont adjacentes et que leur limite est
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 23 septembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 23 septembre 2008 ----------------------------------- Première partie........ ----------------- h=2/(1/x+1/y)=2*x*y/(x+y) g= (x*y) m=(x+y)/2 ----------------- 0<x<y on démontre que x<h x<y ==> x+y<2*y ==> x*(x+y)<2*x*y ==> x<2*x*y /(x-y) soit x<h on démontre que h<g 0<(y-x)^2 ==> 0<x^2-2*x*y+y^2 ==> 0<x^2+2*x*y+y^2-4*x*y ==> 4*x*y<(x+y)^2 ==> 2*(x*y)<(x+y) ==> 2*(x*y)/(x+y)<1 ==>2*x*y/(x+y)<(x*y) soit h<g on démontre que g<m comme précedement jusqu’à ==> 2*(x*y)<(x+y) ==> (x*y)<(x+y) /2 soit g<m enfin on démontre que m<y x<y ==> x+y<2*y ==> (x+y)/2<y soit m<y ------------------------------------- cela devrait aider pour la suite u1=2*a*b/(a+b ) v1=(a+b )/2 ==> 0<a<u1<v1<b u2=*2u1*v1/(u1+v1) v2=(u1+v1)/2 On démontrerais de même que ==> 0<u1<u2<v2<v1 etc .. et bien sur 0<u(n-1)<un<vn<v(n-1)....
Hellboy64 Posté(e) le 24 septembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 24 septembre 2008 Merci pour l'aide au premièrement .... j'ai fini par trouver la relation d'ordre Cependant j'ai trop du mal pour la deuxième relation d'ordre avec les suites u et v .... Tu me conseillerais une récurrence ou juste une démonstration directe ?
Hellboy64 Posté(e) le 24 septembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 24 septembre 2008 Heu en fait je me disais que mon DM était trop court ... il m'en manquait la moitié désolé On note pn=un*vn : Démontrer que la suite (pn) est constante En déduire une expression en fonction de a et b de la limite On fixe a=3 et b=5. Déterminer le plus petit naturel p tel que u0 et v0 donne un encadrement de (15) amplitude inférieure ou égale a 10^-6 En déduire l'encadrement de même amplitude par 2 rationneles de racine de 15
Hellboy64 Posté(e) le 24 septembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 24 septembre 2008 J'ai réussi a démontrer que les suites u et v étaient respectivement croissantes et décroissantes ... mais la relation avec la suite d me pose un serieux soucis ... je trouve que d(n+1) / dn est egal a 1/un +vn mais c'est aberrant parce que par la stricte decroissance de x--> 1/x et bin jinverse lordre et je tombe sur l'horreur 0>1/2 ....
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 24 septembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 septembre 2008 Soit a et b 2 réels tels que 0<a<b et les suites u et v telles que : u0=a et v0=b u(n+1) = 2unvn / un+vn v(n+1) = un+vn / 2 Démontrer que 0<un<vn Justifier que u est croissante et que v est décroissante ( strictement ) ------------------ u1=2*a*b/(a+b ) v1=(a+b )/2 on démontre que a<u1 a<b ==> a+b<2*b ==> a*(a+b )<2*a*b ==> a<2*a*b /(a-b ) soit a<u1 démontre que v1<b x<b ==> x+b<2*b ==> (x+b )/2<b soit v1<b ==> 0<a<u1<v1<b u2=*2u1*v1/(u1+v1) v2=(u1+v1)/2 ----------------------- On démontrerais de même que ==> 0<a<u1<u2<v2<v1<b etc .. On suppose que 0<u(n-1)<v(n-1) et on démonte que 0<u(n-1)<un<vn<v(n-1) ----------------------- et comme on a montré que 0<a<u1<u2<....<u(n-1)<un et on peut en déduire que la suite un est strictement croissante. De la même manière on a montré que vn<v(n-1)<......<v2<v1<b et on peut en déduire que la suite vn est strictement décroissante. -------------------------- Soit d=v-u Demontrer que d(n+1) < dn/2 -------------------------- d(n+1)= (un+vn)/2-2*un*vn/(un+vn)=(un-vn)^2/(2*(un+vn)) un<vn ==> 2*un^2<2*vn*un==>2*un^2+vn^2<2*vn*un+vn^2 ==> un^2+2*un*vn+vn^2<vn^2-Un^2 ==> (un-vn)^2<(un-vn)*(un+vn) ==> (un-vn)^2/(2*(un-vn)^2<(Un-vn)*(un+vn) )<(un-vn)/2 ==> d(n+1)>dn/2 -------------------------- il s’en suit que d1<d0/2 d2<d1/*2 ............. dn<d(n-1)/2 en multipliant membre à membre ces inégalités d1*d2*d3......d(n-1)*dn<d1*d2*d3......d(n-1)*(1/2)^n dn<d0*(1/2)^n et lorsque n-> dn->0 ------------------- un étant une suite croissante, vn une suite décroissante, la différence des deux suite tendant vers 0 lorsque n-> les suites vn et un sont adjacentes et tendent vers un même limite.
Hellboy64 Posté(e) le 24 septembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 24 septembre 2008 Merci beaucoup Le reste je l'ai trouvé plutôt facile ensuite ^^ Bref merci beaucoup et bonne continuation !!
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