nasridu62 Posté(e) le 8 mai 2008 Signaler Posté(e) le 8 mai 2008 Slt g un exo a faire pour samedi mé je sait pas comment le finir donc si vous pouviez m'aider sa serai sympa, voila le sujet: On considère les suites (Un) et (Vn) définies sur N* par: Un= 1/n² + 2/n² + ... +n/n² et Vn= sin(1/n²) + sin(2/n²) + ... +sin(n/n²). 1) Prouver que Un= (n+1)/2n et en déduire que la suite (Un) converge vers 1/2. ( sa g fait ). 2) On considère les fonctions f,g et h définies sur [0 , + ] par: f(x)= x - sin x, g(x)= -1 + x²/2 + cos x, h(x)= -x + x^3/6 + sin x. a) Déterminer le sens de variation de f sur [0 , + ] et en deuire que f est positve ou nulle. b ) Déterminer le sens de variation de g sur [0 , + ] et en deuire que f est positve ou nulle. c) Déterminer le sens de variation de h sur [0 , + ] et en deuire que f est positve ou nulle. d) Déduire des questions précédentes que, pour x 0, x - x^3/6 sin x x. 3) Justifier que pour n appartenant a N*, 1^3 + 2^3 + ... + n^3 n ^4. On pourra remarquer que chaque terme de la somme 1^3 + 2^3 + ... + n^3 est inférieur ou égal à n^3. 4) Déduire des questions précédentes l'encadrement : Un - 1/6 * 1/n² Vn Un. En déduire la limite de la suite (Vn). Voila je sait que c'est long et que certains feront le pont mais jy comprend vrément rien donc merci d'avance.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 8 mai 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 8 mai 2008 ---------------------------- On considère les suites (Un) et (Vn) définies sur N par: Un= 1/n^2 + 2/n^2 + ... +n/n^2 et Vn= sin(1/n^2) + sin(2/n^2) + ... +sin(n/n^2). 1) Prouver que Un= (n+1)/(2*n) et en déduire que la suite (Un) converge vers 1/2. --------------------------- Un= 1/n^2 + 2/n^2 + ... +n/n^2 =(1+2+3...+n)*(1/n^2)=(1/2)*n*(n+1)/n^2=(1/2)*(1+1/n) -> 1/2 lorsque n -> ----------------------------- 2) On considère les fonctions f,g et h définies sur [0 , + ] par: f(x)= x - sin x, g(x)= -1 + x^2/2 + cos x, h(x)= -x + x^3/6 + sin x. a) Déterminer le sens de variation de f sur [0 , + ] et en déduire que f est positive ou nulle. ----------------------------- f’(x)=1-Cos(x) >0 pour toute valeur de x sur l’intervalle [0 , + ] ==> f(x) croissante f(0)=0-0 ==> f(x)>=0 pour toute valeur de x de l’intervalle [0; + ] ----------------------------- trop d'émoticônes la suite arrive......
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 8 mai 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 8 mai 2008 ----------------------------- b ) Déterminer le sens de variation de g sur [0 , + ] et en déduire que g est positive ou nulle. ----------------------------- g’(x)=x > 0 sur l’intervalle [0 , + ] ==> g(x) croissante g(x)=0 ==> x^2/2=1 ==> x=+- 2 et g(x)>=0 sur l’intervalle [ 2 , + ] ----------------------------- c) Déterminer le sens de variation de h sur [0 , + ] et en déduire que h est positive ou nulle. ----------------------------- h’(x)=-1+2*x^2/3+Cos(x) h’’(x)=(4/3)*x-Sin(x) h’’’(x)=(4/3)-Cos(x) >0 donc h’’(x) croissante. Comme h’’(0)=0 on en déduit que h’’(x)>=0 sur l’intervalle [0 , + ] Si h’’(x) >0 sur l’intervalle [0 , + ] cela signifie que h’(x) est croissante et comme h’(0)=0 on en déduit que h’(x)>=0 sur l’intervalle [0 , + ] Enfin si h’(x) >0 sur l’intervalle [0 , + ] cela signifie que h(x) est croissante et comme h(0)=0 on en déduit que h(x)>=0 sur l’intervalle [0 , + ] ----------------------------- et la fin arrive
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 8 mai 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 8 mai 2008 ----------------------------- Déduire des questions précédentes que, pour x >=0, x - x^3/6 =< sin(x) =< x. ----------------------------- h(x)>=0 ==> -x + x^3/6 + sin (x)>=0 ==> x - x^3/6 - sin(x) <=0 ==> x - x^3/6 sin(x) f(x)>=0 ==> x - sin(x) >=0 ==> x Sin(x) et finalement : x - x^3/6 sin(x) x ----------------------------- 3) Justifier que pour n appartenant a N*, 1^3 + 2^3 + ... + n^3 =< n ^4. On pourra remarquer que chaque terme de la somme 1^3 + 2^3 + ... + n^3 est inférieur ou égal à n^3. ----------------------------- ......1^3 <=n^3 +....2^3<= n^3 +..... +.....n^3 <=n^3 ----------------------------- 1^3 +2^3+.....+n^3 n*n^3 =n^4 ---------------------------- 4) Déduire des questions précédentes l'encadrement : Un - 1/6 * 1/n^2 =< Vn Un. De la relation x - x^3/6 sin(x) ==> x<=sin(x) +-x^3/6 on déduit que : (1/n^2)<=Sin(1/n^2) +(1/6)*(1/n^2)^3 (2/n^2)<=Sin(2/n^2) +(1/6)*(2/n^2)^3 (3/n^2)<=Sin(3/n^2) +(1/6)*(3/n^2)^3 ....... (n/n^2)<=Sin(n/n^2)+(1/6)*(n/n^2)^3 ------------------------------------------------ Un<=Vn +(1/6)*(1/n^2)^3*(1+2^3+3^3......n^3) Un <=Vn +(1/6)*(1/n^2)^3*n^4=Vn +(1/6)*(1/n^2) et lon obtient finalement : Un-(1/6)*(1/n^2) Vn Un Comme Limite de Un-(1/6)*(1/n^2) = limite de Un = 1/2 lorsque n -> on en déduit de 1/2 est la limite de Vn lorsque n-> A vérifier.....
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