Suites

[nilo71]

bonjour,

j ai renconré quelques difficultés avec ce probleme, pouvez vous m aider, merci d avance

On considere la suite des nombres entiers u1=16, u2=1156, u3=111556, u4=1111556... on passe du nombre un, au nombre un+1 en intercalant 1 et 5 au "milieu" de un.

Soit (un) la suite ainsi définie

1-determiner la racine carrée de chacun des quatre premiers termes de la suite

( (u1)=4, (u2)=34, (u3)=334, (u4)=3334)

2-soit A le nombre qui s ecrit avec n-1 chiffres 3 suivis dun chiffre 4. Prouver que A-1 est la somme des termes d une suite geometrique dont on indiquera le premier terme et la raison

(je n ai rien compris)

3- en deduire que A=1/3(10ⁿ-1)+1 puis que A²=1/9(10²ⁿ-1)+4/9(10ⁿ-1)+1

4-determiner l expression du terme general de la suite (un) sous forme d un carré

merci d avance d avoir prete attention a mon probleme

[elp]

A1=4

A2=34

A3=334 .....

An=33333....4 il y a (n-1) chiffres 3 et un 4 en dernier.

An-1 ?

Si on retire 1 à An, on trouvera un 3 à la place du dernier chiffre qui était 4.

An=33333.....3 il y a n chiffres 3

An-1=3+30+300+3000+.....30000000 le dernier terme est 3 suivi de n-1 zéros

les termes de cette somme sont ceux d'une progression géom de 1er terme 3 et de raison 10

An-1=3*(1-10^n)/(1-10)=3*(1-10^n)/(-9)=(10^n-1)/3

on en déduit An en ajoutant 1 à ce qui précède

An=(10^n-1)/3 + 1

vérif:

n=1 (10^1-1)/3=(10-1)/3+1=9/3+1=3+1=4

n=2 (10²-1)/3 +1=99/3+1=33+1=34

n=3 (1000-1)/3+1=333+1=334

on reconnait là : rac(U1) rac(U2) etc...

le reste est facile à faire...

[Barbidoux]

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2-

A=33333......+1 =(10^n]-1)/3+1

==> A-1=(10ⁿ-1)/3=3*(10ⁿ-1)/(10-1)

C’est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de terme v₀=3 de raison 10 et de terme général v_n=3*10^(n-1)

A=v₀+v₁+v₂........v_(n-1)=3+30+300+.......+3*10^(n-1)=3*=3*(1-10ⁿ)/(1-10)

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A²=((10ⁿ-1)/3+1)²=((10ⁿ-1)+3)²/9=(10^2*n-2*10ⁿ+1+6*10ⁿ-6+9)/9 =(10^2*n-1+4*10ⁿ-4+9)/9 =(10^2n]-1)/9+4*(10^n]-1)/9+1

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u₁=4²=((10¹-1)/3+1)²

u₂=34²=((10²-1)/3+1)²

u₃=334²=((10³-1)/3+1)²

...................

u_n=((10ⁿ-1)/3+1)²

A vérifier....

[nilo71]

merci beaucoup pour votre aide