Exercice De Trigo 1eres

[Nigel Marven]

Salut à tous d'abord. Voilà, j'ai un problème avec un exercice et je voudrais que vous m'aidiez. Je ne comprends pas du tout. Voilà je vous donne l'énoncé ci-contre. Merci d'avance.

A, B, C, D sont 4 points d'un cercle de centre O de rayon R formant un quadrilatère de diagonales [AC] et [bD].

α, β, γ, δ sont les mesures respectives, comprises entre 0 et 2 , des angles AOB, BOC, COD, DOA.

On a donc α + β + γ + δ = 2

1).a). Montrer que AB = 2Rsin (α/2). Donner des formules semblables pour BC, CD et DA.

B). Montrer que 2sin(a)sin(B) = cos(a-B) - cos(a+B).

c). Déduire des questions précédentes que AB * CD + AD * BC = 2R²(cos((α - γ )/2) + cos ((β - δ)/2)).

2). Exprimer le produit AC * BD en fonction de R et de angles α, β, γ, δ.

3). Conclure que AC * BD = AB * CD + AD * BC.

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Ptolémée.

[Nigel Marven]

Personne? Svp j'ai besoin d'aide

[Barbidoux]

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A, B, C, D sont 4 points d'un cercle de centre O de rayon R formant un quadrilatère de diagonales [AC] et [bD].

a, b, c, d sont les mesures respectives, comprises entre 0 et 2 , des angles AOB, BOC, COD, DOA.

On a donc a+b+c+d = 2*

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1).a). Montrer que AB = 2*Rsin (a/2). Donner des formules semblables pour BC, CD et DA.

Dans le triangle isocèle AOB la hauteur AH est aussi bissectrice de l’angle AOB, médiane et médiatrice du côté AB. Donc dans le triangle AHO ==> AH/AO=Sin(a/2) ==> AH=AB/2=AO*Sin(a/2) ==> AB=2*R*Sin(a/2)

De la même manière on mntrerait que

BC=2*R*Sin(b/2)

CD=2*R*Sin(c/2)

DA=2*R*Sin(d/2)

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Montrer que 2sin(a )sin(b )= cos(a-b ) - cos(a+b )

Cos[a+b]=Cos[a] Cos - Sin[a] Sin

Cos[a-b]=Cos[a] Cos + Sin[a] Sin

cos[a-b] - cos[a+b]=2*Sin[a] Sin

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Déduire des questions précédentes que AB * CD + AD * BC = 2R²(cos((a - c )/2) + cos ((b-d)/2)).

AB*CD=4*R²*Sin(a/2)Sin(c/2)=2*R²*Cos((a-c )/2)

AD*BC=4*R²*Sin(d/2)Sin(b/2)=2*R²*Cos((d-b )/2)=2*R²*Cos((b-d)/2)

d’où

AB*CD+AD*BC=2*R²(Cos((a - c )/2)+Cos((b-d)/2)).

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Conclure que AC*BD =AB*CD+AD*BC.

AC*BD=(AB+BC)*(BC+CD)=AB*BC+BC*BC+AB*CD+BC*CD=AB*CD+AB*BC+BC*BC+BC*CD=AB*CD+AB*B

C+BC*(BC+CD)=AB*CD+AB*BC+BC*BD=AB*CD+BC*(AB+BD)=AB*CD+AD*BC.

[Nigel Marven]

Ah génial, merci énormément pour ton aide précieuse barbidoux.