Annales De Maths

[missamandine]

Salut à tous !! Jai qqe souci ac mon exo dannales de maths a rendre pr demain !! pouvez vs maidez???

Voici le sujet ( n11p153-154 annales bac ABC maths S bac 2008)

Partie A

pour tt réél x>0, on pose: f(x)=x-1-lnx

de létude de f, déduire que pour tt x>0, on a: lnx < ou = à x-1 (1)

Partie B

soit n un entier naturel supérieur ou égal a 2

on donne n nbr réels strictements positifs a1, a2, ..., an

on pose: u=1/n(a1+a2+...+an)

v= racine nieme de a1a2...an

n/w=1/a1+1/a2+...+1/an

les nbrs u, v , w st respectivement les moyennes arithmétiques, géométrique et harmonique des n nbrs a1,a2,...,an

1.a. en appliquant l'inégalité (1)

sucessivement pr x=a1/u, xa2/u, ..., x=an/u

et en combinan les n inégalité obtenues, montrer que v< ou = à u (2)

b.ds quel cas a-t-on v=u?

2.a. en remplacant dans (2) les nbrs a1,a2,...,an par leurs inverses prouver que w< ou = v

b. dans quel cas a-t-on w=v?

[missamandine]

Sil vous plait personne n'a de réponses à ce sujet, meme quelques bricoles, la rep à quelques questions????

[gwigwi]

désoler missamandine je ne comprends rien a ton truc c'est peut-être car je m'appelle aussi amandine non je rigole mais j'en c'est rien du tout t'es en quel classe ?moi je suis en 3ème en tous cas bonne chance et bon courage a bientôt!!!!!!!!!!

[gwigwi]

désoler missamandine je ne comprends rien a ton truc c'est peut-être car je m'appelle aussi amandine non je rigole mais j'en c'est rien du tout t'es en quel classe ?moi je suis en 3ème en tous cas bonne chance et bon courage a bientôt!!!!!!!!!!

[Barbidoux]

-----------------------------

f(x)=x-1-ln(x)

f’(x)=1-1/x

........0.......................1.........................

f’(x)..||......(-)............(0).........(+).........

f(x)...||......decrois....Min........croiss.......

comme Min de f(x) ==>f(0)=0 ==> f(x)=x-1-ln(x)>=0 ==> x-1>= ln(x)

------------------------

a₁, a₂, a₃,.........., a_n sont des nombres >0

a₁/U-1>= ln(a₁/U)

a₂/U-1>= ln(a₂/U)

a₃/U-1>= ln(a₃/U)

.........................

a_n/U-1>= ln(a_n/U)

En faisant la somme des inégalités

a₁/U+a₂/U+a₃/U....a_n/U-n>= ln(a₁/U)* (a₂/U)* (a₃/U)*...*(a_n/U)

(a₁+a₂+a₃....a_n)/(n*U)-1>= (1/n)*ln((a₁* (a₂* (a₃*...*(a_n)/Uⁿ)

0>= (1/n)*ln((a₁* (a₂* (a₃*...*(a_n)/Uⁿ)

0>= ln((a₁* (a₂* (a₃*...*(a_n)^(1/n)/U)

0>= ln(V/U)

Exp[(0)>=V/U ==>1>=V/U ==> U>=V

On a v=u lorsque tous les nombres a₁, a₂, a₃,.........., a_n sont égaux car

U=(a₁+a₂+a₃....a_n)/n=n*a₁/n=a₁

V=(a₁* (a₂* (a₃*...*(a_n)^(1/n)=(a₁ⁿ)^(1/n)=a₁

------------------------------------------

en remplaçant a₁, a₂, a₃,.........., a_n par leur inverse n démontre que n*U=n/W et que V=1/V ==> 1/W>=1/V ==> V>=W et W=V lorsque tous les nombres a₁, a₂, a₃,.........., a_n sont égaux car on démontre que W=a₁ et V=a₁.