JoeKrey Posté(e) le 15 mars 2008 Signaler Posté(e) le 15 mars 2008 Voili voilou; j'ai fait les Olympiades de math, et je me suis pas trop mal débrouillé. Mon professeur de mathématiques nous a donné un exercice du livre classé "Olympiade" . J'ai pas mal de psite, mais je n'arrive pas a aboutir >_< Voici le sujet : Les pages d'un livre sont numérotées de 1 à n ( on rappel que la page numérotée 1 est toujours une page de droite) On additionne le numéro de toutes les pages et on trouve un total égal à 2003. Or, deux pages sont restées collées et leurs numéro n'ont pas été comptés. QUel est le nombre de pages du livre et les numéros des pages collés. Pour information, nous sommes ( dans le programme) dans les suite, nous avons fait les suite géométriques, arithmétiques, la somme d'une suite, mais nous n'avons pas fait les limites d'une suite. Merci beaucoup d'avance. Je continue mes recherches !
E-Bahut elp Posté(e) le 15 mars 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 15 mars 2008 63 pages, les 6 et 7 collées 64 pages, les 38 et 39 collées à vérifier !
JoeKrey Posté(e) le 16 mars 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 16 mars 2008 j'arrove pas a comprendre, vous pouvez m'expliquer ? >_<
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 16 mars 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 16 mars 2008 ------------------------------- La sommme des n entiers successifs S=1+2+3+4....n vaut : S(n)=n*(n+1)/2 Pour avoir une idée de la valeur de n c’est à dire du nombre de pages du livre il suffit de résoudre S(n)=2003 et n0=62 est la valeur entière positive obtenue. En fait 2003=S(n)-(x +x+1) où x est le chiffre pair correspondant à la page collée et les solution sont les valeurs entière qui satisfont aux égalités sucessives : x=(Sni-2003-1)/2 où i prend successivement comme valeurs n0, n0+2, n0+2, n0+3, n0+4... Pour n0+1=63 on obtient x=6. Le livre a 63 pages et les pages 6 et 7 sont collées Pour n0+2=64 on obtient x=38. Le livre a 64 pages et les pages 38 et 39 sont collées et plus de solution possible pour n>66 puisque x>n... Il y a peut être explication et une une démonstration "mathématiquement" plus correcte, mais c'est tout ce que j'ai à te proposer ...
E-Bahut elp Posté(e) le 17 mars 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 17 mars 2008 voila comment j'avais fait (il faut essayer de "cerner " les valeurs de n et du numéro des pages collées pour éviter les essais de solutions) la somme des n premiers entiers est n(n+1)/2 Dans un premier temps, on va estimer la plus grande valeur possible pour n soit k et k+1 les numéros des 2 pages collées. on a n(n+1)/2-(k+k+1)=2003 n(n+1)/2=2003+2k+1 k est au max égal à n-1 n(n+1)/2 vaut au max 2003+2n-1 n(n+1) au max égal à 4004+4n n²+n-4n au max vaut 4004 n²-3n=n(n-3) vaut au max 4004 rac(4004)=63 on cherche n aux environs de 63 n=63 donne n²-3n=3780 n=64 donne 3904 n=65 donne 4030 on a donc n<=64 k le numéro de la 1ère page collée est pair (page de gauche) on pose k=2h 2003=n(n+1)/2-(2h+2h+1) 0=(n²+n)/2-(4h+2004) on doit résoudre n²+n-(8h+4008)=0 delta = 1+(32h+16032)=32h+16033 delta est positif car h>0 (il faut que ce soit un carré parfait) une racine r est 0.5(-1+rac(delta)) (l'autre, négative ne convient pas) n<=64 dc 0.5(-1+rac(delta))<=64 -1+rac(delta)<=128 rac(delta)<=129 delta<=16641 32h+16033<=16641 delta doit être un carré parfait , on cherche les carrés compris entre 16033 et 16641 rac(16033)=126,62.... les possibilités sont 127²=16129 dc 32h+16033=16129 dc 32 h=96 et h=3 ce qui donne n=0.5(-1+127)/2=63 , k=6 et k+1=7 128²=16384 dc32h=351 et h=351/32 pas entier dc ne convient pas 129²=16641 dc 32h=608 h=19 n=(-1+129)/2=64, k=38 et k+1=39 on trouve les 2 seules solutions
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