Terme General D Une Suite Recccurente

[nilo71]

Bonsoir,

un petit coup de main sur cet exercice de suite ne serait pas de refus, merci d avance

on considere la suite (U_n) de premier terme U₀=0 et telle que, pour tout entier naturel n, U_n+1=U_n+2n-11

le but de cet exercice est de determiner, par deux methodes, le terme general de cette suite.

1 ere methode

1- la suite (U_n) est elle arihmetique? geometrique? justifier

2-en utilisantun tableur, calculer et representer graphiquement les 20 premiers termes de la suite (U_n)

3- le nuage de points ainsi obtenue a-t-il une particularité? si oui laquelle?

4-conjecturer alors l' expression du terme general de la suite (U_n), puis demontrer cette formule

2 eme methode

pour tout entier naturel n, on pose: W_n=U_n+1-U_n

1- demontrer que (W_n) est une suite arithmétique et preciser sa raison et son terme initial

2-calculer alors la valeur de S_n=_k=n-1

-------------------------------E Wk

-------------------------------^k=0 (la somme)

3-en deduire le terme general de la suite (U_n)

merci d avance

[Barbidoux]

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1 ere methode

1- la suite (U_n) est elle arihmetique? geometrique? justifier

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U_n+1-U_n=r=2*n-11 n’est pas arithmétique car r n’est pas une constante.

Si U_n+1 n’est pas géométrique car U_n+1 ne peut s’exprimer sous la forme de k*U_n où k est une constante.

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2-en utilisantun tableur, calculer et representer graphiquement les 20 premiers termes de la suite (Un)

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3- le nuage de points ainsi obtenue a-t-il une particularité? si oui laquelle?

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Il suit une parabole de minimum {6,-36}

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4-conjecturer alors l' expression du terme general de la suite (Un) :U_n+36=(n-6)^2 ==> U_n=n^2-12-n

puis demontrer cette formule

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+U₁=U₀-11

+U₂=U₁+2-11

+U₃=U₂+4-11

+U₄=U₃+6-11

+.................

+U_n=U_n-1+2*(n-1)-11

-------------------------------------

U_n=2+4+6+.....2*(n-1)-n*11

U_n=n*(n-1)-n*11=n^2-n-11*n=n^2-12*n

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2 eme methode

pour tout entier naturel n, on pose: Wn=Un+1-Un

1- demontrer que (Wn) est une suite arithmétique et preciser sa raison et son terme initial

W_n=U_n+1-U_n=2*n-11

W_n+1=U_n+2-U_n+1=2*(n+1)-11

W_n+1-W_n=2

---------------------------------------------

W₀=U₁-U₀=-11

W₁=U₂-U₁=2-11

W₂=U₃-U₂=4-11

W₃=U₄-U₃=6-11

+.................

W_n-1=U_n-U_n-1=2*(n-1)-11

--------------------------------------------------------------------------

W_n-1=2+4+6+.....2*(n-1)-n*11

W_n-1=n*(n-1)-n*11=n^2-n-11*n=n^2-12*n

A vérifier........

[elp]

1)

U(n+1)-U(n)=2n-11 n'est pas constant dc pas suite arith

U(n+1)/U(n) pas constant dc pas suite géo

on pense à une parabole

U(n)=an²+bn+c

U(0)=0 et U(n) =a*0²+b*0+c=c dc c=0

U(n)=an²+bn

U(n+1)=a(n+1)²+b(n+1)=an²+2an+a+bn+b

U(n+1)-U(n)=an²+2an+a+bn+b-an²-bn=2an+a+b et vaut 2n-11 dc a=1 et b=-12

U(n)=n²-12n

2)

W(n)=2n-11

W(n+1)-W(n)=2(n+1)-11-2n+11=2 dc suite arith raison 2, 1er terme -11

somme (k=0 à n-1) de W(k)=

somme(k=0 à n-1) de (2k-11)=2somme(k=0 à n-1) de k+somme(k=0 à n-1) de (-11)= 2*(n-1)*n/2-11*n=n²-n-11n=n²-12n

(car somme des n-1 premiers entiers est (n-1)*n/2 et il a n termes égaux à -11)

on a donc W(0)+W(1)+W(2)+....W(n-1)= n²-12n

mais W(0)+W(1)+W(2)+....W(n-1)=U(1)-U(0)+U(2)-U(1)+U(3)-U(2)+U(4)-U(3)+...........U(n)-U(n-1)=-U(0)+U(n)=U(n)

(des termes s'éliminent il ne reste que -U(0) et U(n) )

dc on a bien U(n)=n²-12n

[nilo71]

:P merci infiniment a vous deux vous m' avez beaucoup aidé