Dm 1ère S Pour Le 12/03 Comportements Asymptotiques

[blair]

Bonjour, c'est encore moi je sais que je viens souvent mais c'est parce que j'en ai vraiment besoin et la plus qu'autre chose puique moi et les limites sa fait 2 ( comportement asymptotique aussi )

Bref voila l'exo au cas ou quelqu'un pourrait m'aider au plus vite parce que on ne vien que de commencer la lecon et je n'ai vrmt rien compris

f est la fonction définie sur R par:

f(x)= x³ – 3x² - 5x + 4

^{On note C la courbe représentative dans un repère orthonormal( O,i,j)}

^{1) Etudiez la fonction}

^{2) Démontrez que le point I ( 1;-3) est un centre de symétrie de la courbe C}

^{4) g est la fonction définie sur R-{-1} par:}

^{g(x)= (4 - x)/( x + 1)}

^{On note H sa courbe représentative dans le meme repère. Etudiez la focntion g et tracez (bon je pesne que c'est bon pr tracer )}

^{5) Verifiez que les courbes C et H passent par le meme point A(0;4). Determinez alors les coordonnées de tous les points d'intersection de C et H}

^{6) Demontrez que deux de ces points communs sont symétriques par rapport à I}

^{7) Demontrez que les deux courbes ont une tangente commune en A}

^{Voila , donc merci d'avance ...}

[Barbidoux]

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f est la fonction définie sur R par:

f(x)= x^3 – 3*x^2 - 5*x + 4

On note C la courbe représentative dans un repère orthonormal( O,i,j)

1) Etudiez la fonction

Domaine de définition R

f’(x)=3*x^2-6*x-5 admet deux racines x=(3-2* 6)/2 et x=(3+2* 6)/2

----------------------(3-2* 6)/2..................(3+2* 6)/2..........

f’(x)..........(+)...............0...................(-)................(0)........(-)................

f(x)..........crois...........Max...............decrois..........min.......crois

......

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2) Démontrez que le point I ( 1;-3) est un centre de symétrie de la courbe C

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f(x)= x^3 – 3*x^2 - 5*x + 4

f(X+1)=X^3-8*X-3

g(X)=f(X+1)-3=X^3-8*X est une fonction impaire g(-X)=g(X) ce qui montre que le point I ( 1;-3) est un centre de symétrie de la courbe C

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4) g est la fonction définie sur R-{-1} par:

g(x)= (4 - x)/( x + 1)

On note H sa courbe représentative dans le meme repère. Etudiez la fonction g et tracez

Domaine de définition R\{-1}

g’(x)=-5/(1+x)^2 fonction décroissante monotone

x-> -1^- g(x) -> 5/0^- -> -

x-> -1⁺ g(x) -> 5/0⁺ -> +

La droite x=-1 est asymptote au graphe de g(x)

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5) Verifiez que les courbes C et H passent par le meme point A(0;4).

f(0)=4 et g(0)=4

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Determinez alors les coordonnées de tous les points d'intersection de C et H

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x^3 – 3*x^2 - 5*x + 4=(4 - x)/( x + 1)

x étant différent de -1 alors

( x + 1)*(x^3 – 3*x^2 - 5*x + 4)-(4 - x)=0

x^2*(x^2-2*x-8)=0

Le polynôme x^2-2*x-8 admet eux racines x=-2, et x=4. Les points d’interesection de C et H sont donc

A{-2; H(-2)} soit A{-2; -6}

B{0,H(0)} soit B{0; 4}

et C{4, H(4)} soit C{4; 0}

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6) Demontrez que deux de ces points communs sont symétriques par rapport à I

Les coordonnées du milieu de AC sont{(x_A+x_C)/2; y_A+y_C)/2} soit {1,-3} et I est le milieu de AC et les points A et C sont symétriques par rapport à I

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7) Demontrez que les deux courbes ont une tangente commune en A

Le coefficient directeur d’une tangente à C vaut :

f’(x)=3*x^2-6*x-5

Le coefficient directeur d’une tangente à H vaut :

g’(x)=-5/(1+x)^2

comme f’(0)=g’(0) on peut en conclure que les deux courbes ont une tangente commune en A d’équation :

y=f’(0)*x+f(0) =-5*x+4