Exercice [equa Diff' / Calcul Intégral] Ts

[Hima83]

Bonjour, j'ai cet exercice à résoudre pour lundi prochain et de l'aide serait la bienvenue Merci d'avance.

[Barbidoux]

1-----------------------------------

Le graphe Gamma (vert) est dérivé de celui de C (rouge)

..................................-1...............................1.................

Gamma=G’......(-)........(0)..........(+)..............(0).....(-)........

C=G...........decrois.....Min........crois............Max.....decrois...

2------------

Coefficient directeur -1

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Partie B

1------------------------

f₀=(x^2+2*x)*exp(-x)

f’₀=(2*x+2)*exp(-x)-(x^2+2*x)*exp(-x)=-(x^2-2)*exp(-x)

f₀+f’₀=(x^2+2*x)*exp(-x)-(x^2-2)*exp(-x)=2*(x+1)*exp(-x)

2------------------------

U=f-f₀ solution de E’ : y’+y=0 ==> f’-f’₀ +f-f₀ =0 ==> f’-f=f’₀+f₀=2*(x+1)*exp(-x)

------------------------

f(x)=a*exp(-x)

Lorsque f est solution de (E) alors

f(x)=a*exp(-x)+(x^2+2*x)*exp(-x)=(x^2+2*x+a)*exp(-x)

3------------------------

f(x) passe par{1; 0}==> a=1

f(x)=(x^2+2*x+1)*exp(-x)

4-------------------------

Le coefficient directeur de la droite tangente à h au point d’abscisse 0 vaut f’(0)=0 ==>f’(x)=(x^2+a-2)*exp(-x) ==> f’(0)=(a-2)=0 ==> a=2

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Partie C

1------------------------

f(x)=(x^2+2*x+2)*exp(-x)

f’(x)=-x^2*exp(-x)

fonction décroissante monotone

x-> - f(x)--> +

x-> f(x) x^2/exp(x) -->0

2------------------------

Le coefficient directeur de la droite tangente à f(x) au point d’abscisse -1 vaut f’(-1) ==>f’(x)=exp(1) son équation est :

y= f’(-1)*x-f(-1)-f’(-1)=-exp(1)*x

3------------------------

F(x)=(a*x^2+b*x+c)*exp(-x)

F’(x)=(-a*x^2-b*x+2*a*x+b-c)*exp(-x)=(x^2+2*x+2)*exp(-x)

==> a=-1 ; 2*a-b=2 ==>b=-4 et c=6

F(x)=-(x^2+4*x+6)*exp(-x)

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on pose alpha=q

A(q)=[F(x)] ^q₀=6-(q^2+4*q+6)*exp(-q)

A vérifier.............

[Hima83]

Je vous remercie pour cette aide, désolé pour le retard, mais je n'ai pas pu me connecté avant. Encore merci et à la prochaine