Dm ( Aide!) Produit Scalaire

lesly03 · le 5 mars 2008

Tout d'abord merci beaucoup à tous de prendre le temps de m'aider !!!!! Il y a deux exos sur le produit scalaire et sur les vecteurs. Merciiiiii

Ex n 71 p 321 ( livre de maths 1S hyperbole collection Nathan 2005)

ABC est un triangle non équilatéral, H est son orthocentre, G son centre de gravité et O le centre de son cercle circonscrit.

On pose u (vecteur) = OA+ OB +OC-OH (vecteur)

1) a) Justifier les égalités suivantes :

u . AB = (OA+OB+HC) . AB

= 2OI . AB ou I le milieu de AB

B) En déduire que u . AB =0

2) Démontrer de même que U . BC=0

3) En déduire que u = 0 puis que OH = 3OG

4) Que peut-on en conclure pour les points O, H et G sont alignés

Aide du livre : la droite passant par les points O, H, G est la droite D’Euler du triangle ABC.

Ex n 51 p 316

On construit un triangle équilatéral AEB de côté égal à 1 et deux carrés ABCD et BGFE. Il y a une figure sur le livre que j’ai reproduite je l’ai mis en pièce jointe.

(Il y a des vecteurs sur tout les produits scalairs)

1) Calculer BC . BE en déduire DA . BE

2) Calculer EA . EB

3) a) Démontrer que le triangle BCG est équilatéral

B) En déduire BC . BG puis DA . EF

4) Calculer AE . EF

5) En utilisant la relation de chasles, calculer DE . BF

6) En déduire que les points D E G sont alignés

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Figure_de_maths.bmp

Barbidoux · le 6 mars 2008

Exo1

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ABC est un triangle non équilatéral, H est son orthocentre, G son centre de gravité et O le centre de son cercle circonscrit.

On pose u (vecteur) = OA+ OB +OC-OH (vecteur)

U=OG+GA+ OG+GB +OG+GC-OG-GH

U=OG+ OG-GH=OG+ OG+HG=2*OG+HG

1) a) Justifier les égalités suivantes :

U. AB = (OA+ OB +OC-OH ).AB=(OA+ OB +OH+HC-OH ).AB

=(OA+OB+HC).AB = (OI+IA+OI+IB+HC).AB =(2*OI+HC)

or IO est perpendiculaire à AB (OI médiatrice de AB)

HC est est perpendiculaire à AB (hauteur du trinagle ABC issue du sommet C) d’où

U. AB =(2*OI+HC).AB=0

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2) Démontrer de même que U.BC=0

J est le milieu de BC

U . BC=(OA+ OB +OC-OH)*BC=(OH+HA+ OJ+JB +OJ+JC-OH)*BC=(OH+HA+ OJ+JB +OJ+JC-OH)*BC= (2*OJ+HA)*BC

or JO est perpendiculaire à BC (OJ médiatrice de BC)

HA est est perpendiculaire à BC (hauteur du trinagle ABC issue du sommet A) d’où

U. BC =(2*OJ+HA).BC=0

-------------------------------

3) En déduire que U = 0 puis que OH = 3OG

-------------------------------

Le vecteur U ne pouvant être à la fois perpendiculaire à AB (U.AB=0) et perpendiculaire à BC (U.BC=0) est forcément nul.

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U= OA+ OB +OC-OH= OG+GA+OG+GB+OG+GC-OH=3*OG-OH

car G le centre de gravité du triangle est le barycentyre des points A{1}, B{1} et C{1} ==> GA+GB+GC=0

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4) Comme U=3*OG-OH=0 on peut en conclure que les points O, H et G sont alignés

A vérifier... suite à venir....

Barbidoux · le 6 mars 2008

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1) Calculer BC . BE en déduire DA . BE

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BC.BE=|BC|*|BE|*cos(BC,BE)

AB=BC=BE=1

L’angle CBA= Pi /2 et EBA= Pi/3 ==> CBE+EBA=CBA==> CBE=CBA-EBA= Pi /2-Pi /3= Pi/6

BC.BE=|BC|*|BE|*cos(BC,BE) = Cos ( Pi /6)

Comme AD=BC ==> BC.BE=AD.BE=-DA.BE=-Cos ( Pi /6)

------------------------------

2) Calculer EA . EB

EA.EB=|EA|*|EB|*cos(EA,EB)= Cos ( Pi /3)

------------------------------

3) a) Démontrer que le triangle BCG est équilatéral

L’angle EBG= Pi/2 EBG=EBC+CBG ==> CBG =EBG-EBC= Pi /2- Pi /6=Pi /3

BC=BG =1 le triangle CBG est ioscèle et son angle au sommet vaut Pi /3 c’est donc un triangle isocèle.

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En déduire BC.BG puis DA . EF

BC.BG=|BC|*|BG|*cos(BC,BG)= Cos ( Pi /3)

AD=BC et BG=EF==> BC.BG=AD.EF=-DA.EF ==>DA.EF =-Cos ( Pi /3)

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4) Calculer AE.EF

AEE’= Pi =E’EF+FEB+BEA ==> (AE,EF)=E’EF=Pi -FEB-BEA =Pi- Pi /2 -Pi/3 =Pi /6

AE.EF=|AE|*|EF|*cos(AE,EF)= Cos ( Pi /6)

EF=BG ==> AE.EF=AE.BG

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5) En utilisant la relation de chasles, calculer DE.BF

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DE.BF =(DA+AE).(BE+EF)=DA.BE+DA.EF+AE.BE+AE.EF=-Cos ( Pi /6)-Cos (Pi /3)+Cos (Pi /3)=Cos( Pi/6) =0 ==> DE et BF sont perpendiculaires et DE est la diagonale du carré BGEF ce ui montre que les points D E G sont alignés

A vérifier.......

lesly03 · le 6 mars 2008

Merci beaucoup Barbidoux !!!

Celsius · le 25 mars 2008

Voila je remonte ce topic car je dois faire le meme exo sauf que la figure est legerement differente(edition 2006 Hperbole 1ere S):Si on pouvais m'aider cela m'arrangerais grandement,notamment a la question 4 qui est la meme que l'edition 2005:

Merci d'avance(date limite:vendredi 28 mars)

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